Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
d y/d x = (x^2 + y^2) / (y x)
Res.: y^2 = x^2 ln(x^2) + C x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):

Vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais de primeira ordem e Substituição por homogeneousidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Isso significa verificar se podemos escrever a equação de forma que todas as partes tenham o mesmo grau quando dividimos por uma potência de .

Passo 3

Dividindo o numerador e o denominador por , temos:

Isso mostra que a equação é homogênea porque tudo está em termos de .

Passo 4

Agora, fazemos a substituição . Então, e derivando ambos os lados em relação a :

Passo 5

Substituímos e na equação original:

Simplificando:

Passo 6

Rearranjando para separar as variáveis:

Agora, integramos ambos os lados:
O que resulta em:

Multiplicando tudo por 2:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando a constante:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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