Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
d/y d/x = (2xy) / (y^2 + xy)
Res.: (2x + y)(y - x)² = C

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO):
Estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente buscando a solução geral dessa EDO. Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis ou substituições que simplifiquem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observando o denominador , podemos fatorar y:
Isso simplifica a equação para:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a x:
Substituindo da equação simplificada:

Passo 4

Agora, reescrevemos a equação em termos de v e x:
Multiplicando ambos os lados por v para eliminar o denominador:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
A integral à esquerda:
A integral à direita:
Mas precisamos expressar v em termos de x para integrar . Isso pode complicar, então vamos reconsiderar o método.

Passo 7

Vamos voltar à substituição inicial e tentar um método diferente. Com , então .
Derivando ambos os lados:
Substituindo na equação original:

Passo 8

Simplificando a equação:
Rearranjando:
Multiplicando tudo por :

Passo 9

Agora, a equação está pronta para separação de variáveis:
Separando as variáveis:

Passo 10

Integramos ambos os lados:
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 11

Vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar A e B, escolhemos valores de v que simplificam:
Para :
Para :

Passo 12

Substituindo A e B na integral:
Integrando:
Multiplicando por -1:

Passo 13

Multiplicando ambos os lados por 3:
Reescrevendo em exponenciais:
Onde C é uma constante.

Passo 14

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

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