Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO):
Estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente buscando a solução geral dessa EDO. Para resolver, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis ou substituições que simplifiquem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observando o denominador
, podemos fatorar
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo
da equação simplificada:
Passo 4
Agora, reescrevemos a equação em termos de
e
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
A integral à esquerda:
A integral à direita:
Mas precisamos expressar
em termos de
para integrar
. Isso pode complicar, então vamos reconsiderar o método.
Passo 7
Vamos voltar à substituição inicial e tentar um método diferente. Com
, então
.
Derivando ambos os lados:
Substituindo na equação original:
Passo 8
Simplificando a equação:
Rearranjando:
Multiplicando tudo por
:
Passo 9
Agora, a equação está pronta para separação de variáveis:
Separando as variáveis:
Passo 10
Integramos ambos os lados:
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 11
Vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
que simplificam:
Para
:
Para
:
Passo 12
Substituindo
e
na integral:
Integrando:
Multiplicando por -1:
Passo 13
Multiplicando ambos os lados por 3:
Reescrevendo em exponenciais:
Onde
é uma constante.
Passo 14
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
Exercícios relacionados
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia:
.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.: