Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que relaciona com e . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações lineares e talvez fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais clara:
Essa equação envolve tanto quanto , o que pode complicar um pouco as coisas. Para simplificar, vamos fazer uma substituição inteligente.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável igual a :
Isso nos ajudará a eliminar o termo da equação original.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usando a regra da cadeia:
Substituindo pela equação original:
Lembrando que , podemos reescrever:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para :
Essa é uma equação linear de primeira ordem, que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 6

Vamos encontrar o fator integrante :
Multiplicando toda a equação por :

Passo 7

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :
Isso simplifica bastante a nossa resolução!

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, vamos resolver para :
Lembrando que , temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.:
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia: .