Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que relaciona
com
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações lineares e talvez fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais clara:
Essa equação envolve tanto
quanto
, o que pode complicar um pouco as coisas. Para simplificar, vamos fazer uma substituição inteligente.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
igual a
:
Isso nos ajudará a eliminar o termo
da equação original.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Substituindo
pela equação original:
Lembrando que
, podemos reescrever:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Essa é uma equação linear de primeira ordem, que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 6
Vamos encontrar o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
:
Passo 7
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Isso simplifica bastante a nossa resolução!
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, vamos resolver para
:
Lembrando que
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia:
.