Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
x^2 * dy/dx + (1-x) * y = e^(1/x)
Res.: y = ((C * x^2 - 1) / (2 * x)) * e^(1 / x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear que é:

O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como variação dos parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar soluções gerais para EDOs lineares.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para colocá-la na forma padrão de uma EDO linear. Dividimos todos os termos por :

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes da equação padrão . Aqui,

Passo 4

Calculamos o fator integrante , que é dado por:

Vamos integrar :
Então,

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :

Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :

Calculando a integral:
Então,

Passo 7

Isolamos para encontrar a solução geral:

Simplificando os termos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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