Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia: f(x) = ((x + 1) / (x^2 + 1))^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função usando a Regra da Cadeia. Isso envolve entender como aplicar a derivada a funções compostas, onde uma função está dentro de outra. Vamos precisar usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que nos ajudarão a aplicar a Regra da Cadeia. Vamos chamar a parte interna da função de :
Então, nossa função original fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra diz que a derivada de uma função composta é:
No nosso caso, e . Então, a derivada de em relação a será:

Passo 4

Agora precisamos encontrar , a derivada de . Como é um quociente de duas funções, vamos usar a Regra do Quociente, que diz:
Aqui, e . Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a Regra do Quociente para encontrar :
Vamos simplificar o numerador:
ã
Portanto:

Passo 6

Agora que temos , vamos substituir de volta na expressão da derivada de :

Resposta

A derivada de é:

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