Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear:
O conteúdo envolvido aqui é o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método dos parâmetros. Para resolver essa EDO, vamos precisar identificar a equação homogênea associada e depois aplicar o método para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear. Dividindo ambos os lados da equação por
, temos:
Aqui, a equação está na forma:
onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea. A ideia é encontrar uma solução que satisfaça essa equação sem o termo de força
Passo 4
Para resolver a equação homogênea, usamos o fator integrante. Calculamos o fator integrante
da seguinte forma:
Esse fator nos ajuda a tornar a equação homogênea mais fácil de integrar.
Passo 5
Multiplicamos a equação homogênea pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
A derivada de
é zero, o que implica que
é constante.
Passo 6
Integrando a equação, temos:
Onde
Essa é a solução geral da equação homogênea.
Passo 7
Agora, aplicamos o método da variação das constantes. Isso significa que a constante
passa a ser uma função de
, ou seja,
. Substituímos na solução homogênea:
Nosso objetivo é encontrar
Passo 8
Derivamos
em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Os termos que envolvem
se cancelam, ficando:
Passo 10
Dividindo ambos os lados por
e por
:
Agora, integramos para encontrar
Onde
é a constante de integração, que podemos incorporar na constante
original.
Passo 11
Substituímos
na expressão de
:
Como
Resposta
A solução geral da EDO é: