Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
x dy/dx + y/x = e^(1/x)
Res.: y = (C + ln x) e^(1 / x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear:
x dy/dx + y/x = e^(1/x)
O conteúdo envolvido aqui é o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método dos parâmetros. Para resolver essa EDO, vamos precisar identificar a equação homogênea associada e depois aplicar o método para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear. Dividindo ambos os lados da equação por , temos:

Aqui, a equação está na forma:
onde e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada:

Essa é uma equação diferencial linear homogênea. A ideia é encontrar uma solução que satisfaça essa equação sem o termo de força .

Passo 4

Para resolver a equação homogênea, usamos o fator integrante. Calculamos o fator integrante da seguinte forma:

Esse fator nos ajuda a tornar a equação homogênea mais fácil de integrar.

Passo 5

Multiplicamos a equação homogênea pelo fator integrante:

Isso simplifica a equação para:
A derivada de é zero, o que implica que é constante.

Passo 6

Integrando a equação, temos:

Onde é a constante de integração. Então, isolando :
Essa é a solução geral da equação homogênea.

Passo 7

Agora, aplicamos o método da variação das constantes. Isso significa que a constante passa a ser uma função de , ou seja, . Substituímos na solução homogênea:

Nosso objetivo é encontrar .

Passo 8

Derivamos em relação a :

Simplificando:

Passo 9

Substituímos e na equação original:

Simplificando os termos:
Os termos que envolvem se cancelam, ficando:

Passo 10

Dividindo ambos os lados por e por :

Agora, integramos para encontrar :
Onde é a constante de integração, que podemos incorporar na constante original.

Passo 11

Substituímos na expressão de :

Como é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para , obtendo:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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