Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) que relaciona
e
. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição para simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos dividir os termos no numerador pelo denominador:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Isso fica:
Passo 4
Observamos que a equação ainda está complicada para resolver diretamente. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Voltando à nossa equação anterior:
Substituindo
por
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear na forma:
Vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso nos permite reescrever a equação como uma derivada:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
Lembrando que
, trocamos de volta:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Calcule
e
para:
.