Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO) que relaciona e . Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição para simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos dividir os termos no numerador pelo denominador:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:
Isso fica:

Passo 4

Observamos que a equação ainda está complicada para resolver diretamente. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Voltando à nossa equação anterior:
Substituindo por :
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 6

Agora, temos uma equação linear na forma:
Vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso nos permite reescrever a equação como uma derivada:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Simplificando:

Passo 9

Lembrando que , trocamos de volta:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.:
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Calcule e para: .