Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar aplicar técnicas de solução de EDOs, identificando se a equação é exata ou se pode ser tornada exata por algum fator integrante.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se:
Aqui, e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante que dependa somente de ou somente de . Vamos tentar um fator integrante que depende de .
Assumimos que é tal que:
Se a equação for exata após multiplicar por , então:

Passo 5

Calculando as derivadas:
Para que a equação seja exata, devemos ter:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Simplificando:
Vamos rearranjar para escrever em termos de derivadas:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Exponentiando ambos os lados para resolver para :
Onde é uma constante arbitrária. Podemos simplificar escolhendo .

Passo 9

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 10

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .

Passo 11

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é constante.

Passo 12

Portanto, a solução geral é dada por:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Calcule e para: .
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.