Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar aplicar técnicas de solução de EDOs, identificando se a equação é exata ou se pode ser tornada exata por algum fator integrante.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se:
Aqui,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante que dependa somente de
ou somente de
. Vamos tentar um fator integrante que depende de
.
Assumimos que
é tal que:
Se a equação for exata após multiplicar por
, então:
Passo 5
Calculando as derivadas:
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Simplificando:
Vamos rearranjar para escrever em termos de derivadas:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Exponentiando ambos os lados para resolver para
:
Onde
é uma constante arbitrária. Podemos simplificar escolhendo
.
Passo 9
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 10
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 11
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é constante.
Passo 12
Portanto, a solução geral é dada por:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Calcule
e
para:
.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.