Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear do tipo:

A matéria que vamos usar aqui é o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como variação dos parâmetros. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral dessa EDO utilizando esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea associada. A equação homogênea é:

Essa é uma EDO linear de primeira ordem, e podemos resolver separando as variáveis.

Passo 3

Separando as variáveis, temos:

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :

Essa é a solução geral da equação homogênea.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da variação das constantes. A ideia é considerar a constante como uma função de , ou seja, . Então, a solução particular terá a forma:

Passo 5

Derivamos em relação a :

Substituímos e na equação original:
Simplificando, os termos com se cancelam:

Passo 6

Isolamos :

Agora, integramos para achar :

Passo 7

Integrando , usamos a integração por partes. Após realizar os cálculos, obtemos:

Onde é a constante de integração, que podemos ignorar aqui.

Passo 8

Voltando à expressão de :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.