Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear do tipo:
A matéria que vamos usar aqui é o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como variação dos parâmetros. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral dessa EDO utilizando esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea associada. A equação homogênea é:
Essa é uma EDO linear de primeira ordem, e podemos resolver separando as variáveis.
Passo 3
Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Essa é a solução geral da equação homogênea.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da variação das constantes. A ideia é considerar a constante
como uma função de
, ou seja,
. Então, a solução particular
terá a forma:
Passo 5
Derivamos
em relação a
:
Substituímos
Simplificando, os termos com
se cancelam:
Passo 6
Isolamos
:
Agora, integramos
Passo 7
Integrando
, usamos a integração por partes. Após realizar os cálculos, obtemos:
Onde
Passo 8
Voltando à expressão de
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
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Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.