Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
d y/d x = y x/(x^2 + y^2)
Res.: x^2/(2 y^2) - ln(y) = C

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:

Esse tipo de equação é conhecida como equação diferencial homogênea. Para resolvê-la, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a relação entre e .

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Isso significa que . Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 3

Substituímos e na equação original:

Simplificando o lado direito:

Passo 4

Reorganizamos a equação para isolar :

Então:

Passo 5

Agora, separamos as variáveis e :

Isso facilita a integração dos dois lados.

Passo 6

Integramos ambos os lados:

Calculando as integrais:
Simplificando:

Passo 7

Substituímos de volta na equação:

Simplificando:
Os termos se cancelam:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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