Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:

Esse tipo de equação é conhecida como equação diferencial homogênea. Para resolvê-la, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a relação entre e .

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Isso significa que . Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 3

Substituímos e na equação original:

Simplificando o lado direito:

Passo 4

Reorganizamos a equação para isolar :

Então:

Passo 5

Agora, separamos as variáveis e :

Isso facilita a integração dos dois lados.

Passo 6

Integramos ambos os lados:

Calculando as integrais:
Simplificando:

Passo 7

Substituímos de volta na equação:

Simplificando:
Os termos se cancelam:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.:
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.