Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear para resolver usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como variação dos parâmetros. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona esse método e aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação é da forma:
ê
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 3

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação das constantes. Isso significa que vamos assumir que a constante não é mais constante, mas depende de , ou seja, .
Então, a solução particular tem a forma:
Vamos derivar essa expressão:
Substituindo e sua derivada na equação original:
Simplificando, sobra:
Resolvendo para :
Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante de integração. Podemos ignorar na solução particular, pois já está incluída na solução homogênea.
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.

Res.:
Para cada uma das funções definidas abaixo, calcule a derivada: .