Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma EDO linear usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como variação dos parâmetros. A equação que temos é:

Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com equações diferenciais lineares e aplicar o método mencionado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma EDO linear:

No nosso caso, temos:
Então, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante, , é dado por:

Vamos calcular:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:

Isso transforma a equação em:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que simplifica a parte esquerda da equação como a derivada de um produto.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :

Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral no lado direito. Podemos usar uma substituição simples:
Seja , então , ou seja, . Mas na integral temos , que fica:

Voltando para :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:

Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.:
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.:
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.

Res.: