Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma EDO linear usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com equações diferenciais lineares e aplicar o método mencionado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma EDO linear:
No nosso caso, temos:
Então, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante,
, é dado por:
Vamos calcular:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que simplifica a parte esquerda da equação como a derivada de um produto.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral no lado direito. Podemos usar uma substituição simples:
Seja , então
, ou seja,
. Mas na integral temos
, que fica:
Seja
Voltando para
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação:
Para isolar
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Res.: