Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação que relaciona a derivada de em relação a com e . O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e substituições para resolver equações homogêneas. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e substituição para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, observamos a equação dada:
Essa equação é homogênea porque os termos no numerador e no denominador têm o mesmo grau (ambos são de grau 2). Para resolver equações homogêneas, uma técnica comum é fazer a substituição , onde é uma função de .

Passo 3

Vamos substituir na equação. Primeiro, calculemos a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
Subtraímos de ambos os lados:
Podemos fatorar no numerador:

Passo 5

Agora, separamos as variáveis e :
Simplificamos a fração do lado esquerdo:
Então, a equação fica:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Para integrar o lado esquerdo, podemos fazer a decomposição em frações parciais. Dividindo:
Resolvendo para , , e , encontramos que , , e . Assim:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo:
As integrais são:
E a integral do lado direito:

Passo 8

Juntando todas as integrais, temos:
Para simplificar, podemos combinar os logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma constante.

Passo 9

Lembrando que fizemos a substituição , substituímos :
Simplificando e reorganizando os termos, chegamos à solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Calcule e para: .
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Calcule e em cada caso abaixo.
4a
Calcule e para: .
Calcule a derivada das funções abaixo usando a Regra da Cadeia.
6a
Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia: .