Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que a gente tem aqui. O problema pede para a gente encontrar a solução geral da seguinte EDO:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como identificar o tipo dela para aplicar a melhor técnica de resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da EDO para facilitar a análise. A equação é:
Podemos fatorar o numerador e o denominador para ver se simplifica:
Numerador:
Denominador:
Então, a equação fica:
Podemos cancelar um
Passo 3
Agora, vamos tentar identificar o tipo da EDO. Observando a forma atual, percebemos que a equação não é linear, nem separável diretamente. Mas parece que podemos reescrever para reconhecer uma equação exata ou encontrar um fator integrante.
Vamos testar se a equação é exata. Para isso, colocamos a EDO na forma:
Onde:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou de
. Suponhamos que o fator depende apenas de
, então temos:
Multiplicando a equação original por
A condição para exatidão é:
Após os cálculos, encontramos que não é simples encontrar
. Então, vamos tentar outro método.
Passo 5
Vamos observar que a equação pode ser homogênea, ou seja, que podemos fazer a substituição
. Vamos tentar essa substituição.
Se
, então
e
.
Substituindo na EDO original:
Simplificando:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Agora, a equação fica:
Podemos separar as variáveis:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
Podemos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
- Se
- Se
Então:
Portanto:
Do lado direito:
Passo 8
Juntando tudo, temos:
Podemos reorganizar:
Exponentiando ambos os lados:
Onde
Substituindo
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por
Podemos absorver
na constante geral, então:
Resposta
A solução geral da EDO é
.