Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
d y/d x = (2 x y^2 - 3 x^2 y) / (x^3 - 2 x^2 y)
Res.: y^2 x^2 - x^3 y = C

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que a gente tem aqui. O problema pede para a gente encontrar a solução geral da seguinte EDO:
d y/d x = (2 x y^2 - 3 x^2 y) / (x^3 - 2 x^2 y)
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como identificar o tipo dela para aplicar a melhor técnica de resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da EDO para facilitar a análise. A equação é:
d y/d x = (2 x y^2 - 3 x^2 y) / (x^3 - 2 x^2 y)
Podemos fatorar o numerador e o denominador para ver se simplifica:
Numerador:
Denominador:
Então, a equação fica:

Podemos cancelar um do numerador e denominador:

Passo 3

Agora, vamos tentar identificar o tipo da EDO. Observando a forma atual, percebemos que a equação não é linear, nem separável diretamente. Mas parece que podemos reescrever para reconhecer uma equação exata ou encontrar um fator integrante.
Vamos testar se a equação é exata. Para isso, colocamos a EDO na forma:

Onde:

Calculando as derivadas parciais:

Portanto, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de ou de . Suponhamos que o fator depende apenas de , então temos:

Multiplicando a equação original por , queremos que a nova equação seja exata:
A condição para exatidão é:
Após os cálculos, encontramos que não é simples encontrar . Então, vamos tentar outro método.

Passo 5

Vamos observar que a equação pode ser homogênea, ou seja, que podemos fazer a substituição . Vamos tentar essa substituição.
Se , então e .
Substituindo na EDO original:

Simplificando:
Então, a equação fica:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Agora, a equação fica:
Podemos separar as variáveis:

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:

Podemos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Para encontrar e , escolhemos valores de :
- Se :
- Se :
Então:
Portanto:
Do lado direito:

Passo 8

Juntando tudo, temos:

Podemos reorganizar:
Exponentiando ambos os lados:

Onde é uma constante.
Substituindo :

Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Dividindo por :
Podemos absorver na constante geral, então:

Resposta

A solução geral da EDO é .

Exercícios relacionados