Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
d y/d x - y = x^2
Res.: y = C * e^x - x^2 - 2 * x - 2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear dada por:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método da variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar o método mencionado para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral de uma EDO linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, podemos reescrever a equação dada para se encaixar nessa forma:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é quando :
Essa é uma equação diferencial simples e pode ser resolvida separando as variáveis:
Separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Essa é a solução geral da equação homogênea.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da variação das constantes. A ideia é que a constante na solução homogênea não seja realmente constante, mas sim uma função de , ou seja, . Então, assumimos que:
Vamos derivar essa expressão em relação a :
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Resolvendo para :
Agora, integramos para encontrar :

Passo 5

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes, que é dada por:
Vamos escolher:
Aplicando a integração por partes:
Agora, resolvemos a nova integral novamente por partes:
Escolhemos:
Aplicando novamente:
Substituindo de volta:
Podemos fatorar :

Resposta

Substituindo na solução geral :
Portanto, a solução geral da EDO é:

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