Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
y = sen(x^2)
Res.: y = sen(x^2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear dada por:
y = sen(x^2)
O objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método da variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar o método mencionado para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral de uma EDO linear de primeira ordem, que é:
y = sen(x^2)
No nosso caso, podemos reescrever a equação dada para se encaixar nessa forma:
y = sen(x^2)
Aqui, temos:
  • y = sen(x^2)
  • y = sen(x^2)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é quando y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Essa é uma equação diferencial simples e pode ser resolvida separando as variáveis:
y = sen(x^2)
Separamos as variáveis:
y = sen(x^2)
Integrando ambos os lados:
y = sen(x^2)
Onde y = sen(x^2) é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Essa é a solução geral da equação homogênea.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da variação das constantes. A ideia é que a constante y = sen(x^2) na solução homogênea não seja realmente constante, mas sim uma função de y = sen(x^2), ou seja, y = sen(x^2). Então, assumimos que:
y = sen(x^2)
Vamos derivar essa expressão em relação a y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Substituindo y = sen(x^2) e y = sen(x^2) na equação original:
y = sen(x^2)
Simplificando:
y = sen(x^2)
Resolvendo para y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Agora, integramos para encontrar :

Passo 5

Para resolver a integral y = sen(x^2), usamos a técnica de integração por partes, que é dada por:
y = sen(x^2)
Vamos escolher:
  • y = sen(x^2) y = sen(x^2) y = sen(x^2)
  • y = sen(x^2) y = sen(x^2) y = sen(x^2)
Aplicando a integração por partes:
y = sen(x^2)
Agora, resolvemos a nova integral y = sen(x^2) novamente por partes:
Escolhemos:
Aplicando novamente:
Substituindo de volta:
Podemos fatorar :

Resposta

Substituindo y = sen(x^2) na solução geral y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Portanto, a solução geral da EDO é:
y = sen(x^2)

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<html><head></head><body><div>Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.</div>
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<html><head></head><body><div>Calcular as derivadas parciais de 1ºrdem das funções:<br>
c) <span class="math-inline ">
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