Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Res.:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear dada por:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método da variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar o método mencionado para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral de uma EDO linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, podemos reescrever a equação dada para se encaixar nessa forma:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é quando
:
Essa é uma equação diferencial simples e pode ser resolvida separando as variáveis:
Separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Essa é a solução geral da equação homogênea.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da variação das constantes. A ideia é que a constante
na solução homogênea não seja realmente constante, mas sim uma função de
, ou seja,
. Então, assumimos que:
Vamos derivar essa expressão em relação a
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Agora, integramos
para encontrar
:
Passo 5
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes, que é dada por:
Vamos escolher:
Aplicando a integração por partes:
Agora, resolvemos a nova integral
novamente por partes:
Escolhemos:
Aplicando novamente:
Substituindo de volta:
Podemos fatorar
:
Resposta
Substituindo
na solução geral
:
Portanto, a solução geral da EDO é: