Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
2 x^2 dy/dx = y^2 - x^2
ln(x) + raiz(2) * arctgh((raiz(2)/2) * (y/x - 1)) = C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão que descreva todas as possíveis funções que satisfazem a equação. Para resolver isso, vamos precisar usar um método que facilite a integração, e nesse caso, vamos usar uma substituição que simplifica a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. Queremos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, a equação está na forma:
Para resolver essa equação, vamos usar uma substituição que torne a equação mais simples. Vamos definir uma nova variável como . Isso ajuda porque relaciona diretamente a , facilitando a integração.

Passo 4

Com a substituição , temos que . Agora, vamos encontrar em termos de e :
Substituindo isso na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar a equação resultante:
Rearranjando para isolar :

Passo 6

Agora, temos uma equação separável em termos de e . Vamos rearranjá-la para separar as variáveis:
Agora, podemos integrar ambos os lados.

Passo 7

Primeiro, vamos integrar o lado direito:
Agora, vamos integrar o lado esquerdo. Para isso, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Isso sugere uma substituição que leva à função arctangente hiperbólica.

Passo 8

Reconhecendo que a forma leva à função arctangente hiperbólica, temos:

Passo 9

Agora, juntando as integrais dos dois lados:
Substituindo de volta :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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