Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão que descreva todas as possíveis funções
que satisfazem a equação. Para resolver isso, vamos precisar usar um método que facilite a integração, e nesse caso, vamos usar uma substituição que simplifica a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. Queremos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, a equação está na forma:
Para resolver essa equação, vamos usar uma substituição que torne a equação mais simples. Vamos definir uma nova variável
como
. Isso ajuda porque relaciona
diretamente a
, facilitando a integração.
Passo 4
Com a substituição
, temos que
. Agora, vamos encontrar
em termos de
e
:
Substituindo isso na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar a equação resultante:
Rearranjando para isolar
:
Passo 6
Agora, temos uma equação separável em termos de
e
. Vamos rearranjá-la para separar as variáveis:
Agora, podemos integrar ambos os lados.
Passo 7
Primeiro, vamos integrar o lado direito:
Agora, vamos integrar o lado esquerdo. Para isso, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Isso sugere uma substituição que leva à função arctangente hiperbólica.
Passo 8
Reconhecendo que a forma
leva à função arctangente hiperbólica, temos:
Passo 9
Agora, juntando as integrais dos dois lados:
Substituindo de volta
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: