Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão que relaciona e que satisfaz a equação para qualquer constante . Para isso, vamos utilizar técnicas de resolução de EDOs, como substituições que simplifiquem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Podemos tentar simplificar essa fração ou identificar uma substituição que torne a equação mais fácil de resolver. Observamos que tanto no numerador quanto no denominador há termos lineares em e , o que sugere que uma substituição linear pode ser eficaz.

Passo 3

Vamos definir duas novas variáveis para facilitar a resolução:
Essa escolha é estratégica porque combina e de forma que a equação original possa ser reescrita de maneira mais simples.

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas de e em relação a :
Para :
Para :

Passo 5

Substituímos da equação original nas expressões das derivadas de e :
Da equação original:
Substituindo em :
Simplificando o denominador:
Então:

Passo 6

Expressamos e em termos de e :
Temos:
Somando as duas equações:
Subtraindo de :
Substituindo :

Passo 7

Substituímos e em termos de e na expressão para :
Simplificando numerador e denominador:
Portanto:

Passo 8

Agora, calculamos :
Substituindo e :

Passo 9

Temos um sistema de equações:
Dividindo as duas equações para eliminar :

Passo 10

A equação resultante é separável:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Exponenciando para eliminar os logaritmos:
Substituindo e de volta em termos de e :
Elevando ambos os lados ao cubo e ajustando a constante:

Resposta

A solução geral da Equação Diferencial dada é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando : .
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.: