Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão que relaciona
e
que satisfaz a equação para qualquer constante
. Para isso, vamos utilizar técnicas de resolução de EDOs, como substituições que simplifiquem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Podemos tentar simplificar essa fração ou identificar uma substituição que torne a equação mais fácil de resolver. Observamos que tanto no numerador quanto no denominador há termos lineares em
e
, o que sugere que uma substituição linear pode ser eficaz.
Passo 3
Vamos definir duas novas variáveis para facilitar a resolução:
Essa escolha é estratégica porque combina
e
de forma que a equação original possa ser reescrita de maneira mais simples.
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituímos
da equação original nas expressões das derivadas de
e
:
Da equação original:
Substituindo em
:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 6
Expressamos
e
em termos de
e
:
Temos:
Somando as duas equações:
Subtraindo
de
:
Substituindo
:
Passo 7
Substituímos
e
em termos de
e
na expressão para
:
Simplificando numerador e denominador:
Portanto:
Passo 8
Agora, calculamos
:
Substituindo
e
:
Passo 9
Temos um sistema de equações:
Dividindo as duas equações para eliminar
:
Passo 10
A equação resultante é separável:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Exponenciando para eliminar os logaritmos:
Substituindo
e
de volta em termos de
e
:
Elevando ambos os lados ao cubo e ajustando a constante:
Resposta
A solução geral da Equação Diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando
:
.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.: