Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
(x^2 + y^2) dx - 2xy dy = 0
y^2 = C x + x^2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de integração e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação. A equação dada é:
Podemos escrever isso como:

Passo 3

Agora, vamos tentar separar as variáveis ou identificar se a equação é exata. Observando, percebemos que se dividirmos ambos os lados por , podemos simplificar:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Definimos:
Então, . Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a :

Passo 5

Substituindo e na equação original, temos:
Expandindo o lado direito:

Passo 6

Vamos isolar os termos com :
Simplificando:

Passo 7

Agora, separamos as variáveis e :

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo fica:
E a integral do lado direito:

Passo 9

Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores:

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Para simplificar, reorganizamos a expressão:

Resposta

A solução geral da EDO dada é:

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