Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de integração e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação. A equação dada é:
Podemos escrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos tentar separar as variáveis ou identificar se a equação é exata. Observando, percebemos que se dividirmos ambos os lados por , podemos simplificar:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Definimos:
Então, . Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a :
Passo 5
Substituindo e na equação original, temos:
Expandindo o lado direito:
Passo 6
Vamos isolar os termos com :
Simplificando:
Passo 7
Agora, separamos as variáveis e :
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo fica:
E a integral do lado direito:
Passo 9
Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores: