Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de integração e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a manipulação. A equação dada é:
Podemos escrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos tentar separar as variáveis ou identificar se a equação é exata. Observando, percebemos que se dividirmos ambos os lados por
, podemos simplificar:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Definimos:
Então,
. Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original, temos:
Expandindo o lado direito:
Passo 6
Vamos isolar os termos com
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo fica:
E a integral do lado direito:
Passo 9
Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Para simplificar, reorganizamos a expressão:
Resposta
A solução geral da EDO dada é: