Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO):
Esse tipo de equação faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar substituições apropriadas e técnicas de integração. Vamos resolver isso juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação usando uma substituição. Uma boa estratégia aqui é assumir que
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
.
Passo 3
Calculando
usando a substituição
:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
em relação a
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Isolamos o termo com
:
Simplificando o lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
Isso nos permite integrar ambos os lados facilmente.
Passo 7
Vamos integrar cada lado:
- Lado esquerdo:
A primeira integral é
e a segunda é
. Então:
- Lado direito:
Passo 8
Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicamos tudo por 2 para simplificar:
Onde
.
Passo 10
Simplificando a expressão logarítmica:
Substituindo de volta na equação:
Cancelando
de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral para cada equação de Bessel em
.
Sem resolver a equação, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto ordinário
dado.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.