Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO):
Esse tipo de equação faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar substituições apropriadas e técnicas de integração. Vamos resolver isso juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação usando uma substituição. Uma boa estratégia aqui é assumir que . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar .

Passo 3

Calculando usando a substituição :
Aqui, usamos a regra do produto para derivar em relação a .

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Isolamos o termo com :
Simplificando o lado direito:
Então, temos:

Passo 6

Vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
Isso nos permite integrar ambos os lados facilmente.

Passo 7

Vamos integrar cada lado:
  • Lado esquerdo:
A primeira integral é e a segunda é . Então:
  • Lado direito:

Passo 8

Igualando as integrais e simplificando as constantes:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicamos tudo por 2 para simplificar:
Onde .

Passo 10

Simplificando a expressão logarítmica:
Substituindo de volta na equação:
Cancelando de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
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