Encontre a solução geral para cada equação de Bessel em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a solução geral de uma equação de Bessel no intervalo de a . A equação dada é:
Vamos precisar saber sobre Equações de Bessel, que são um tipo especial de equações diferenciais usadas em várias áreas da física e engenharia. Para resolver, vamos identificar a forma padrão da equação de Bessel e ajustar a nossa equação para se encaixar nela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma padrão da Equação de Bessel:
Onde é a ordem da equação. Agora, vamos ver se conseguimos manipular a nossa equação para ficar parecida com essa.
Nossa equação é:
Vamos multiplicar todos os termos por para deixar o coeficiente de com :
Agora, temos:
Comparando com a forma padrão, podemos ver que:
Para que as duas equações sejam equivalentes, precisamos que:
Simplificando:
Isso nos dá:
Para que isso faça sentido, deve ser igual a , o que não é possível. Portanto, nossa equação original não está na forma padrão da Equação de Bessel, mas podemos ajustá-la.

Passo 3

Como a nossa equação não se encaixa diretamente na forma padrão, vamos identificar a ordem que faz a equação se aproximar da forma de Bessel. Observando os termos, percebemos que a presença do termo sugere que a ordem será relacionada a um termo constante.
Vamos igualar os coeficientes:
Isso simplifica para:
Como deve ser uma constante, percebemos que essa igualdade não é possível para todos os valores de . Isso indica que nossa equação não é uma Equação de Bessel padrão, mas podemos ainda assim encontrar uma solução geral usando funções de Bessel com parâmetros ajustados.

Passo 4

Mesmo que nossa equação não esteja na forma padrão, sabemos que as soluções de Equações de Bessel envolvem as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, e . Assim, podemos escrever a solução geral como uma combinação linear dessas funções.
Como identificamos que a ordem se aproxima mais da nossa equação, vamos usar essa ordem nas funções de Bessel.

Resposta

A solução geral da equação dada é uma combinação linear das funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem 1:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Sem resolver a equação, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto ordinário dado.
Para cada equação diferencial dada, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes (LI) em torno do ponto ordinário . Obtenha uma cota inferior para os raios de convergência das soluções encontradas.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.