Encontre a solução geral para cada equação de Bessel em (0, +infinito). x y'' + y + x y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a solução geral de uma equação de Bessel no intervalo de a . A equação dada é:
Vamos precisar saber sobre Equações de Bessel, que são um tipo especial de equações diferenciais usadas em várias áreas da física e engenharia. Para resolver, vamos identificar a forma padrão da equação de Bessel e ajustar a nossa equação para se encaixar nela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma padrão da Equação de Bessel:
Onde é a ordem da equação. Agora, vamos ver se conseguimos manipular a nossa equação para ficar parecida com essa.
Nossa equação é:
Vamos multiplicar todos os termos por para deixar o coeficiente de com :
Agora, temos:
Comparando com a forma padrão, podemos ver que:
Para que as duas equações sejam equivalentes, precisamos que:
Simplificando:
Isso nos dá:
Para que isso faça sentido, deve ser igual a , o que não é possível. Portanto, nossa equação original não está na forma padrão da Equação de Bessel, mas podemos ajustá-la.

Passo 3

Como a nossa equação não se encaixa diretamente na forma padrão, vamos identificar a ordem que faz a equação se aproximar da forma de Bessel. Observando os termos, percebemos que a presença do termo sugere que a ordem será relacionada a um termo constante.
Vamos igualar os coeficientes:
Isso simplifica para:
Como deve ser uma constante, percebemos que essa igualdade não é possível para todos os valores de . Isso indica que nossa equação não é uma Equação de Bessel padrão, mas podemos ainda assim encontrar uma solução geral usando funções de Bessel com parâmetros ajustados.

Passo 4

Mesmo que nossa equação não esteja na forma padrão, sabemos que as soluções de Equações de Bessel envolvem as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, e . Assim, podemos escrever a solução geral como uma combinação linear dessas funções.
Como identificamos que a ordem se aproxima mais da nossa equação, vamos usar essa ordem nas funções de Bessel.

Resposta

A solução geral da equação dada é uma combinação linear das funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem 1:
Onde e são constantes arbitrárias.

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