Sem resolver a equação, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto ordinário
dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para, sem resolver a equação diferencial dada, determinar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série em torno de dois pontos ordinários específicos:
e
. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries de potências aplicados a equações diferenciais lineares. Precisamos identificar os pontos singulares da equação e calcular a distância mínima desses pontos em relação a cada
para determinar essa cota inferior.
Passo 2
Primeiro, temos que identificar os pontos singulares da equação diferencial. A equação dada é:
Para encontrar os pontos singulares, olhamos para onde os coeficientes das derivadas não são analíticos, ou seja, onde
.
Resolvendo:
As soluções são:
Então, os pontos singulares são
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar as distâncias desses pontos singulares aos pontos ordinários
e
.
Para
:
- Distância até
: - Distância até
: - Distância até
: Também é
A menor distância é
.
Para
:
- Distância até
: - Distância até
: - Distância até
: Também é
A menor distância é
.
Passo 4
A teoria por trás disso é que o raio de convergência de uma série de potências centrada em
é, no mínimo, a distância até o ponto singular mais próximo. Isso porque a série não pode convergir além de onde a função deixa de ser analítica, que acontece justamente nos pontos singulares.
Resposta
Portanto, a cota inferior para o raio de convergência da solução em série é:
- Para
: - Para
: