Sem resolver a equação, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto ordinário x_0 dado. (x^2 + 2x + 5)(x - 4) y'' + 4x y' + y = 0, x0 = 0, x0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para, sem resolver a equação diferencial dada, determinar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série em torno de dois pontos ordinários específicos: e . Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries de potências aplicados a equações diferenciais lineares. Precisamos identificar os pontos singulares da equação e calcular a distância mínima desses pontos em relação a cada para determinar essa cota inferior.

Passo 2

Primeiro, temos que identificar os pontos singulares da equação diferencial. A equação dada é:
Para encontrar os pontos singulares, olhamos para onde os coeficientes das derivadas não são analíticos, ou seja, onde .
Resolvendo:
As soluções são:
Então, os pontos singulares são e .

Passo 3

Agora, vamos determinar as distâncias desses pontos singulares aos pontos ordinários e .
Para :
  • Distância até :
  • Distância até :
  • Distância até : Também é
A menor distância é .
Para :
  • Distância até :
  • Distância até :
  • Distância até : Também é
A menor distância é .

Passo 4

A teoria por trás disso é que o raio de convergência de uma série de potências centrada em é, no mínimo, a distância até o ponto singular mais próximo. Isso porque a série não pode convergir além de onde a função deixa de ser analítica, que acontece justamente nos pontos singulares.

Resposta

Portanto, a cota inferior para o raio de convergência da solução em série é:
  • Para :
  • Para :

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