Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
O nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de EDOs, como separação de variáveis ou fator integrante. Vamos resolver passo a passo para entender bem como chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar. Vamos colocar tudo de um lado igual a zero:
Agora, dividimos ambos os lados por
para obter uma forma que nos ajude a separar as variáveis:
Passo 3
Vamos isolar
para ter uma equação diferencial mais clara:
Agora, temos uma equação diferencial que podemos tentar resolver. Observamos que ela é homogênea, pois se trocarmos
por
e
por
, a equação continua a mesma. Isso significa que podemos usar a substituição
.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Isso implica que
. Agora, calculamos
usando a regra do produto:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Simplificando o lado direito:
Podemos fatorar o numerador:
Então,
Passo 6
Vamos simplificar a fração:
Fatorando o numerador:
Não consegue fatorar facilmente, então vamos reescrever a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso está um pouco complicado, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos tentar resolver a equação original usando integração direta. Voltamos à forma:
Podemos reescrever isso como:
Vamos integrar ambos os lados:
Mas precisamos expressar
em termos de
, o que não está claro. Então, vamos tentar outra estratégia.
Passo 8
Vamos tentar encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando a primeira equação em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda equação:
Isso nos dá:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Agora, temos a função potencial
:
A solução geral da EDO é
, assim:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Podemos renomear
como apenas
, já que é uma constante arbitrária:
Rearranjando os termos:
Resposta
A solução geral da EDO é:
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Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
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Res.:
Obs: Se
Consequentemente
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.: