Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
(x+y) dx - (y-x) dy = 0
y^2 - 2 x y - x^2 = C

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
O nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de EDOs, como separação de variáveis ou fator integrante. Vamos resolver passo a passo para entender bem como chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar. Vamos colocar tudo de um lado igual a zero:
Agora, dividimos ambos os lados por para obter uma forma que nos ajude a separar as variáveis:

Passo 3

Vamos isolar para ter uma equação diferencial mais clara:
Agora, temos uma equação diferencial que podemos tentar resolver. Observamos que ela é homogênea, pois se trocarmos x por e y por , a equação continua a mesma. Isso significa que podemos usar a substituição .

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Isso implica que . Agora, calculamos usando a regra do produto:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Podemos fatorar o numerador:
Então,

Passo 6

Vamos simplificar a fração:
Fatorando o numerador:
Não consegue fatorar facilmente, então vamos reescrever a equação:
Dividindo ambos os lados por x:
Isso está um pouco complicado, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 7

Vamos tentar resolver a equação original usando integração direta. Voltamos à forma:
Podemos reescrever isso como:
Vamos integrar ambos os lados:
Mas precisamos expressar y em termos de x, o que não está claro. Então, vamos tentar outra estratégia.

Passo 8

Vamos tentar encontrar uma função potencial F(x, y) tal que:
Integrando a primeira equação em relação a x:
Agora, derivamos F em relação a y e igualamos à segunda equação:
Isso nos dá:
Simplificando:
Integrando em relação a y:

Passo 9

Agora, temos a função potencial F(x, y):
A solução geral da EDO é , assim:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Podemos renomear como apenas C, já que é uma constante arbitrária:
Rearranjando os termos:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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