Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Matéria envolvida: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente equações não lineares que podem ser resolvidas por substituição.
O que vamos precisar: Saber fazer substituições inteligentes para simplificar a equação e técnicas de separação de variáveis para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra do quociente:

Passo 3

Substituímos e na equação original:
Simplificando cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, subtraímos de ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :
Próximo passo é integrar ambos os lados.

Passo 6

Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo:
A integral do lado direito:
Podemos juntar as constantes e em uma só constante :
Simplificando:

Passo 7

Resolvemos para :
Lembrando que , substituímos de volta:
Isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Encontre a solução geral para cada equação de Bessel em .
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Res.: , ou
.
Obs: Se , então ; logo,

Consequentemente