Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Matéria envolvida: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente equações não lineares que podem ser resolvidas por substituição.
O que vamos precisar: Saber fazer substituições inteligentes para simplificar a equação e técnicas de separação de variáveis para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra do quociente:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Próximo passo é integrar ambos os lados.
Passo 6
Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo:
A integral do lado direito:
Podemos juntar as constantes
e
em uma só constante
:
Simplificando:
Passo 7
Resolvemos para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Encontre a solução geral para cada equação de Bessel em
.
Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
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Res.:
Obs: Se
Consequentemente