Escrever a equação da hipérbole de centro na origem, eixo transverso (ou real) no eixo y, amplitude focal igual a 36 e distância focal 24.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente escrever a equação de uma hipérbole com o centro na origem, o eixo transverso no eixo
, uma amplitude focal igual a 36 e uma distância focal de 24. Para resolver isso, vamos precisar entender os parâmetros básicos da hipérbole e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distância focal. Na hipérbole, a distância entre os dois focos é
. O enunciado diz que essa distância é 24, então podemos calcular
:
Passo 3
Agora, a parte da amplitude focal. Esse termo pode ser um pouco confuso, mas aqui vamos interpretar como o comprimento do latus rectum, que para a hipérbole é dado por
. O enunciado diz que isso é igual a 36:
Podemos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre
e
:
Passo 4
Sabemos que, para hipérboles, existe uma relação importante entre
,
e
:
Já que
, substituímos na equação:
Passo 5
Temos duas equações agora:
Vamos substituir a primeira na segunda:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Desconsideramos a solução negativa:
Passo 7
Agora, encontramos
. Vamos encontrar
usando
:
Resposta
A equação da hipérbole é: