Escrever a equação da hipérbole de centro na origem, eixo transverso (ou real) no eixo y, amplitude focal igual a 36 e distância focal 24.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente escrever a equação de uma hipérbole com o centro na origem, o eixo transverso no eixo , uma amplitude focal igual a 36 e uma distância focal de 24. Para resolver isso, vamos precisar entender os parâmetros básicos da hipérbole e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distância focal. Na hipérbole, a distância entre os dois focos é 2c = 24 implies c = 12 . O enunciado diz que essa distância é 24, então podemos calcular :

Passo 3

Agora, a parte da amplitude focal. Esse termo pode ser um pouco confuso, mas aqui vamos interpretar como o comprimento do latus rectum, que para a hipérbole é dado por 2b^2a = 36 . O enunciado diz que isso é igual a 36:
b^2 = 18a
Podemos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre e :

Passo 4

Sabemos que, para hipérboles, existe uma relação importante entre c^2 = a^2 + b^2 , 12^2 = a^2 + b^2 implies 144 = a^2 + b^2 e :
Já que , substituímos na equação:

Passo 5

Temos duas equações agora:
  1. a^2 + 18a = 144
Vamos substituir a primeira na segunda:

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
a^2 + 18a - 144 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
a = -18 pm raiz18^2 - 4 cdot 1 cdot (-144)2 cdot 1 = -18 pm raiz324 + 5762 = -18 pm raiz9002
a = -18 pm 302
Desconsideramos a solução negativa:
a = 122 = 6

Passo 7

Agora, encontramos b^2 = 18 times 6 = 108 implies b = raiz108 = 6raiz3 . Vamos encontrar usando :

Resposta

A equação da hipérbole é:
y^236 - x^2108 = 1

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