Para cada uma das elipse dadas determinar:
  • o comprimento do semi-eixo maior;
  • o comprimento do semi-eixo menor;
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.
  1. x^28+y^212=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de elipses juntos! A gente precisa determinar quatro coisas sobre a elipse dada pela equação . O que a gente vai precisar saber são os conceitos básicos de elipses na geometria analítica, como identificar os semi-eixos, os focos e calcular a excentricidade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que estão na equação da elipse. A forma geral da equação de uma elipse é , onde:
  • é o semi-eixo maior,
  • é o semi-eixo menor.
No nosso caso, temos . Isso significa que:
  • (já que 12 está debaixo do ),
  • (já que 8 está debaixo do ).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os comprimentos dos semi-eixos maior e menor. Para isso, tiramos a raiz quadrada dos valores que encontramos:
  • Para o semi-eixo maior ( a = raiz12 = 2raiz3 approx 3,464 ): b = raiz8 = 2raiz2 approx 2,828
  • Para o semi-eixo menor ( ):

Passo 4

Em seguida, vamos determinar as coordenadas dos focos da elipse. A fórmula para encontrar a distância dos focos em relação ao centro é:
c = raiza^2 - b^2
Substituindo os valores que temos:
c = raiz12 - 8 = raiz4 = 2
Como a elipse está alinhada com os eixos coordenados e o maior eixo está no eixo (0, c) e (0, -c) , os focos ficam ao longo do eixo (0, 2) e (0, -2) . Então, as coordenadas dos focos são:
Ou seja:

Passo 5

Por último, vamos calcular a excentricidade da elipse, que nos diz o quão alongada ela é. A excentricidade ( e = ca ) é dada por:
e = 22raiz3 = 1raiz3 approx 0,577
Já sabemos que e , então:

Resposta

  • Comprimento do semi-eixo maior:
  • Comprimento do semi-eixo menor:
  • Coordenadas dos focos: e
  • Excentricidade:

Exercícios relacionados