Para cada uma das elipse dadas determinar:
- o comprimento do semi-eixo maior;
- o comprimento do semi-eixo menor;
- as coordenadas dos focos;
- a excentricidade.
-
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de elipses juntos! A gente precisa determinar quatro coisas sobre a elipse dada pela equação
. O que a gente vai precisar saber são os conceitos básicos de elipses na geometria analítica, como identificar os semi-eixos, os focos e calcular a excentricidade. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que estão na equação da elipse. A forma geral da equação de uma elipse é
, onde:
-
é o semi-eixo maior, -
é o semi-eixo menor.
No nosso caso, temos
. Isso significa que:
-
(já que 12 está debaixo do ), -
(já que 8 está debaixo do ).
Passo 3
Agora, vamos encontrar os comprimentos dos semi-eixos maior e menor. Para isso, tiramos a raiz quadrada dos valores que encontramos:
- Para o semi-eixo maior (
): - Para o semi-eixo menor (
):
Passo 4
Em seguida, vamos determinar as coordenadas dos focos da elipse. A fórmula para encontrar a distância dos focos em relação ao centro é:
Substituindo os valores que temos:
Como a elipse está alinhada com os eixos coordenados e o maior eixo está no eixo
, os focos ficam ao longo do eixo
. Então, as coordenadas dos focos são:
Ou seja:
Passo 5
Por último, vamos calcular a excentricidade da elipse, que nos diz o quão alongada ela é. A excentricidade (
) é dada por:
Já sabemos que
e
, então:
Resposta
- Comprimento do semi-eixo maior:
- Comprimento do semi-eixo menor:
- Coordenadas dos focos:
e - Excentricidade: