Em cada uma das seguintes equações de parábola encontrar a forma reduzida e determinar
  • as coordenadas do vértices;
  • as coordenadas do foco;
  • a equação da diretriz.
  1. 3 x^2-9 x-5 x-2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de parábola juntos! A gente tem a equação . Nosso objetivo é:
  • Colocar essa equação na forma reduzida da parábola.
  • Encontrar as coordenadas do vértice.
  • Descobrir as coordenadas do foco.
  • Determinar a equação da diretriz.
Para isso, vamos usar completar o quadrado, que é uma técnica para transformar a equação em uma forma mais fácil de trabalhar e identificar essas características da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação juntando os termos semelhantes. Olha só:
3x^2 - 9x - 5x - 2 = 0
Juntando os termos de 3x^2 - 14x - 2 = 0:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar o completar o quadrado. Primeiro, vamos isolar os termos que contêm 3x^2 - 14x = 2:

Passo 4

Para completar o quadrado, precisamos que o coeficiente de x^2 - 143x = 23 seja 1. Então, vamos dividir toda a equação por 3:

Passo 5

Agora, vamos completar o quadrado. A ideia é transformar o lado esquerdo em um quadrado perfeito. Para isso, pegamos metade do coeficiente de (-146)^2 = (-73)^2 = 499 , que é x^2 - 143x + 499 - 499 = 23 , e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:

Passo 6

Agora, podemos escrever o lado esquerdo como um quadrado perfeito:
(x - 73)^2 - 499 = 23
Vamos somar (x - 73)^2 = 23 + 499 aos dois lados para isolar o quadrado:
23 = 69 então 69 + 499 = 559
Calculando o lado direito:
(x - 73)^2 = 559 ã
Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, vamos escrever a equação na forma reduzida da parábola. A forma geral é:
(y - k) = a(x - h)^2
Comparando com o que temos:
(x - 73)^2 = 559
Podemos reescrever como:
y = 559(x - 73)^2
Então, a forma reduzida da parábola é:
y = 559(x - 73)^2

Passo 8

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice. Na forma reduzida y = 559(x - 73)^2 + 0 , o vértice é (73, 0) .
No nosso caso:
Então, o vértice é:

Passo 9

Para encontrar o foco e a diretriz, precisamos lembrar que para a parábola Distância = 14a = 14 times 559 = 9220 :
  • A distância do vértice ao foco é .
  • O foco fica acima do vértice se e abaixo se .
  • A diretriz é uma linha horizontal oposta ao foco.
No nosso caso, , que é positivo. Então:
â

Passo 10

Agora, vamos determinar as coordenadas do foco. Como (73, 0 + 9220) = (73, 9220) , o foco está acima do vértice.
Vértice:
Portanto, o foco será:

Passo 11

Por fim, vamos achar a equação da diretriz. A diretriz está a uma distância y = 0 - 9220 = -9220 do vértice, mas na direção oposta ao foco. Como o foco está acima, a diretriz ficará abaixo do vértice.
Então, a equação da diretriz será:

Resposta

  • Forma reduzida da parábola:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da diretriz:

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