Em cada uma das seguintes equações de parábola encontrar a forma reduzida e determinar
- as coordenadas do vértices;
- as coordenadas do foco;
- a equação da diretriz.
-
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de parábola juntos! A gente tem a equação
. Nosso objetivo é:
- Colocar essa equação na forma reduzida da parábola.
- Encontrar as coordenadas do vértice.
- Descobrir as coordenadas do foco.
- Determinar a equação da diretriz.
Para isso, vamos usar completar o quadrado, que é uma técnica para transformar a equação em uma forma mais fácil de trabalhar e identificar essas características da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação juntando os termos semelhantes. Olha só:
Juntando os termos de
:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar o completar o quadrado. Primeiro, vamos isolar os termos que contêm
:
Passo 4
Para completar o quadrado, precisamos que o coeficiente de
seja 1. Então, vamos dividir toda a equação por 3:
Passo 5
Agora, vamos completar o quadrado. A ideia é transformar o lado esquerdo em um quadrado perfeito. Para isso, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
Passo 6
Agora, podemos escrever o lado esquerdo como um quadrado perfeito:
Vamos somar
aos dois lados para isolar o quadrado:
Calculando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, vamos escrever a equação na forma reduzida da parábola. A forma geral é:
Comparando com o que temos:
Podemos reescrever como:
Então, a forma reduzida da parábola é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice. Na forma reduzida
, o vértice é
.
No nosso caso:
Então, o vértice é:
Passo 9
Para encontrar o foco e a diretriz, precisamos lembrar que para a parábola
:
- A distância do vértice ao foco é
. - O foco fica acima do vértice se
e abaixo se . - A diretriz é uma linha horizontal oposta ao foco.
No nosso caso,
, que é positivo. Então:
Passo 10
Agora, vamos determinar as coordenadas do foco. Como
, o foco está acima do vértice.
Vértice:
Portanto, o foco será:
Passo 11
Por fim, vamos achar a equação da diretriz. A diretriz está a uma distância
do vértice, mas na direção oposta ao foco. Como o foco está acima, a diretriz ficará abaixo do vértice.
Então, a equação da diretriz será:
Resposta
- Forma reduzida da parábola:
- Vértice:
- Foco:
- Equação da diretriz: