Em cada uma das seguintes equações de parábola encontrar a forma reduzida e determinar
  • as coordenadas do vértices;
  • as coordenadas do foco;
  • a equação da diretriz.
  1. y^2-4 y+6 x-8=0

Passo 1

Beleza, temos a equação de uma parábola: . Nosso objetivo é colocar essa equação na forma reduzida para facilitar encontrarmos o vértice, o foco e a diretriz. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e entender um pouco sobre a forma padrão das parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de y^2 - 4y = -6x + 8 :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo (-42)^2 = 4 . Para completar o quadrado de y^2 - 4y + 4 - 4 = -6x + 8 , pegamos o coeficiente de (y - 2)^2 - 4 = -6x + 8 que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:

Passo 4

Vamos isolar o termo completo (y - 2)^2 = -6x + 12 :
(y - 2)^2 = -6(x - 2)

Passo 5

A forma reduzida da equação de uma parábola com eixo horizontal é (y - 2)^2 = -6(x - 2) , onde 4p = -6 Rightarrow p = -64 = -32 é o vértice e é a distância do vértice ao foco e à diretriz. Comparando com a nossa equação:
Vemos que:

Passo 6

Agora, identificamos o vértice h = 2 :
k = 2
Então, o vértice é .

Passo 7

Para achar o foco, usamos que ele está a uma distância (2 - 32, 2) = (12, 2) do vértice na direção do eixo da parábola. Como , e a parábola abre para a esquerda (porque é negativo), o foco fica a unidades para a esquerda do vértice.
Então, as coordenadas do foco são:

Passo 8

A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo da parábola, a uma distância x = 2 + 32 = 72 do vértice, na direção oposta do foco. Como , a diretriz fica a unidades para a direita do vértice.
A equação da diretriz é:

Resposta

Forma reduzida:
Coordenadas do vértice:
Coordenadas do foco:
Equação da diretriz:

Exercícios relacionados