Em cada uma das seguintes equações de parábola encontrar a forma reduzida e determinar
- as coordenadas do vértices;
- as coordenadas do foco;
- a equação da diretriz.
-
Passo 1
Beleza, temos a equação de uma parábola:
. Nosso objetivo é colocar essa equação na forma reduzida para facilitar encontrarmos o vértice, o foco e a diretriz. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e entender um pouco sobre a forma padrão das parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo
. Para completar o quadrado de
, pegamos o coeficiente de
que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Passo 4
Vamos isolar o termo completo
:
Passo 5
A forma reduzida da equação de uma parábola com eixo horizontal é
, onde
é o vértice e
é a distância do vértice ao foco e à diretriz. Comparando com a nossa equação:
Vemos que:
Passo 6
Agora, identificamos o vértice
:
Então, o vértice é
.
Passo 7
Para achar o foco, usamos que ele está a uma distância
do vértice na direção do eixo da parábola. Como
, e a parábola abre para a esquerda (porque
é negativo), o foco fica a
unidades para a esquerda do vértice.
Então, as coordenadas do foco são:
Passo 8
A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo da parábola, a uma distância
do vértice, na direção oposta do foco. Como
, a diretriz fica a
unidades para a direita do vértice.
A equação da diretriz é:
Resposta
Forma reduzida:
Coordenadas do vértice:
Coordenadas do foco:
Equação da diretriz: