Para cada uma das elipse dadas determinar:
  • o comprimento do semi-eixo maior;
  • o comprimento do semi-eixo menor;
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.
  1. x^216+y^281=1

Passo 1

Beleza, temos a equação da elipse . Vamos usar conceitos de geometria analítica para encontrar o comprimento dos semi-eixos maior e menor, as coordenadas dos focos e a excentricidade dessa elipse. Para isso, vamos identificar os valores que representam os semi-eixos na equação e aplicar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos comparar a equação dada com a forma padrão da equação da elipse, que é a^2 = 81 e b^2 = 16 . Aqui, a = raiz81 = 9 e b = raiz16 = 4 representa o comprimento do semi-eixo maior e o do semi-eixo menor. Observando a nossa equação:
Então, tirando a raiz quadrada para encontrar e :

Passo 3

Agora que sabemos que o semi-eixo maior tem comprimento 9 e o menor tem comprimento 4, vamos encontrar as coordenadas dos focos. Para isso, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2
Substituindo os valores:
c = raiz81 - 16 = raiz65
Como a maior denominação está em (0, raiz65) e (0, -raiz65) , os focos estão alinhados no eixo . Portanto, as coordenadas dos focos são:

Passo 4

Por último, vamos calcular a excentricidade e = ca da elipse, que mede o quanto ela se afasta de ser um círculo. A fórmula para a excentricidade é:
e = raiz659
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

  • Comprimento do semi-eixo maior:
  • Comprimento do semi-eixo menor:
  • Coordenadas dos focos: e
  • Excentricidade:

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