Em cada uma das seguintes equações de parábola encontrar a forma reduzida e determinar
  • as coordenadas do vértices;
  • as coordenadas do foco;
  • a equação da diretriz.
  1. y^2-4 y-6 x+13=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação da parábola . Nosso objetivo é colocar essa equação na forma reduzida da parábola e determinar as coordenadas do vértice, do foco e a equação da diretriz. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e usar as propriedades das parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos com y^2 - 4y = 6x - 13 de um lado:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado nos termos de (-42)^2 = 4 . Para isso, pegamos o coeficiente de y^2 - 4y + 4 - 4 = 6x - 13 , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(y - 2)^2 - 4 = 6x - 13
Então, adicionamos e subtraímos esse valor no lado esquerdo da equação:

Passo 4

Vamos isolar o termo completo (y - 2)^2 = 6x - 9 adicionando 4 em ambos os lados:
(y - 2)^2 = 6(x - 1.5)
Dividindo ambos os lados por 6 para deixar a equação na forma padrão:

Passo 5

Agora, identificamos a forma reduzida da parábola: (y - 2)^2 = 6(x - 1.5) , onde é o vértice e determina a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Comparando com nossa equação:
Temos:

Passo 6

Com o valor de , podemos encontrar o foco e a diretriz.
  • Vértice:
  • Foco: Como a parábola é horizontal e abre para a direita, o foco está a unidades à direita do vértice:
  • Diretriz: É a linha vertical a unidades à esquerda do vértice:

Resposta

  • Forma reduzida:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:

Exercícios relacionados