Deduzir a equação de cada uma das seguintes parábolas:
-
e
;
-
e d é o eixo
;
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de duas parábolas, cada uma definida por um foco
e uma diretriz
. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente a definição de parábola como o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.
Passo 2
Primeira Parábola:
-
Dados:
- Foco
- Diretriz
(que pode ser escrita como )
- Foco
-
Entendendo os dados:
- O foco está no ponto
. - A diretriz é uma linha vertical localizada em
.
- O foco está no ponto
-
Calculando a distância
: - A distância entre o foco e a diretriz é
.
- A distância entre o foco e a diretriz é
-
Equação da parábola:
- Quando a parábola abre para a direita, a equação geral é:
onde é o foco.
- Quando a parábola abre para a direita, a equação geral é:
-
Substituindo os valores:Simplificando:
Passo 3
Segunda Parábola:
-
Dados:
- Foco
- Diretriz
é o eixo , ou seja,
- Foco
-
Entendendo os dados:
- O foco está no ponto
. - A diretriz é uma linha horizontal localizada em
.
- O foco está no ponto
-
Calculando a distância
: - A distância entre o foco e a diretriz é
.
- A distância entre o foco e a diretriz é
-
Equação da parábola:
- Quando a parábola abre para cima, a equação geral é:
onde é o foco.
- Quando a parábola abre para cima, a equação geral é:
-
Substituindo os valores:Simplificando:
Resposta
As equações das parábolas são: