Para cada uma das elipse dadas determinar:
  • o comprimento do semi-eixo maior;
  • o comprimento do semi-eixo menor;
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.
  1. x^216+y^281=1
  2. x^28+y^212=1
  3. 225 x^2+289 y^2=65025

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem três equações de elipses e precisa descobrir para cada uma delas:
  • O comprimento do semi-eixo maior;
  • O comprimento do semi-eixo menor;
  • As coordenadas dos focos;
  • A excentricidade.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula padrão da elipse e entender um pouco sobre os elementos que a compõem. Vamos precisar identificar os valores de e (que representam os semi-eixos maior e menor), calcular (a distância dos focos ao centro) e depois encontrar a excentricidade .

Passo 2

Primeira Elipse: x^216+y^281=1 Rightarrow a^2 = 81 e b^2 = 16
Primeiro, identificamos os valores de a = raiz81 = 9 (semi-eixo maior) e b = raiz16 = 4 (semi-eixo menor) :
c = raiza^2 - b^2 = raiz81 - 16 = raiz65 approx 8,06
Como (0, pm c) Rightarrow (0, pm 8,06) , o semi-eixo maior é em e = ca = 8,069 approx 0,896 .
Então:
Agora, calculamos :
As coordenadas dos focos, como a elipse está no eixo , são:
Finalmente, a excentricidade :

Passo 3

Segunda Elipse: x^28+y^212=1 Rightarrow a^2 = 12 e b^2 = 8
Identificando a = raiz12 approx 3,46 (semi-eixo maior) e b = raiz8 approx 2,83 (semi-eixo menor) :
c = raiza^2 - b^2 = raiz12 - 8 = raiz4 = 2
Aqui, (0, pm 2) , então o semi-eixo maior é em e = ca = 23,46 approx 0,578 .
Calculando e :
Calculando :
Coordenadas dos focos:
Excentricidade :

Passo 4

Terceira Elipse: 225x^265025 + 289y^265025 = 1 Rightarrow x^2289 + y^2225 = 1
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo todos os termos por 65025:
a^2 = 289 e b^2 = 225
Agora, identificamos a = raiz289 = 17 (semi-eixo maior) e b = raiz225 = 15 (semi-eixo menor) :
c = raiza^2 - b^2 = raiz289 - 225 = raiz64 = 8
Como (pm 8, 0) , o semi-eixo maior é em e = ca = 817 approx 0,471 .
Calculando e :
Calculando :
Coordenadas dos focos:
Excentricidade :

Resposta

Elipse 1:
  • Semi-eixo maior: 9
  • Semi-eixo menor: 4
  • Focos: (0, ±8,06)
  • Excentricidade: 0,896
Elipse 2:
  • Semi-eixo maior: 3,46
  • Semi-eixo menor: 2,83
  • Focos: (0, ±2)
  • Excentricidade: 0,578
Elipse 3:
  • Semi-eixo maior: 17
  • Semi-eixo menor: 15
  • Focos: (±8, 0)
  • Excentricidade: 0,471

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