Por que a reta não é um subespaço do ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos saber por que a reta não é um subespaço do . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que uma reta precisa cumprir para ser considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O ponto (0,0) deve estar na reta.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão na reta, a soma deles também deve estar na reta.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está na reta, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar na reta.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a reta cumpre essas condições. Primeiro, substituímos na equação da reta para ver se o ponto (0,0) está nela:
Aqui, vemos que quando , , então o ponto (0,3) está na reta, não o ponto (0,0).

Passo 4

Já que a reta não passa pela origem (0,0), ela não contém o vetor zero. Isso já viola a primeira condição necessária para ser um subespaço vetorial. Além disso, mesmo que verificássemos as outras condições, a falta do vetor zero já nos diz que a reta não é um subespaço.

Resposta

A reta não é um subespaço de porque ela não contém o vetor zero, violando uma das condições fundamentais para ser um subespaço vetorial.

Exercícios relacionados

Para cada uma das elipse dadas determinar:
  • o comprimento do semi-eixo maior;
  • o comprimento do semi-eixo menor;
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(f) .
Seja o triângulo de vértices e . Calcular o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado .
Seja o espaço dos polinômios de grau e considere: .
(a) Verifique que é l.d.
(b) Encontre uma combinação linear em que algum dos coeficientes é diferente de 0