Seja o triângulo de vértices A(4,1,-2), B(2,-5,6) e C(1,1,2). Calcular o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado A B.

Passo 1

Beleza, temos um triângulo com os vértices em , e . A gente quer descobrir o comprimento da mediana relativa ao lado . Mas o que é uma mediana? Basicamente, é uma linha que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. Então, nesse caso, vamos precisar achar o ponto médio de e depois medir a distância desse ponto até o vértice . Para isso, vamos usar a fórmula do ponto médio e a fórmula da distância no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio D( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) do lado D( 4 + 22, 1 + (-5)2, -2 + 62 ) = D( 3, -2, 2 ) . A fórmula do ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando isso aos pontos e :
Então, o ponto médio de é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre o ponto d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e o ponto médio d = raiz(3 - 1)^2 + (-2 - 1)^2 + (2 - 2)^2 = raiz2^2 + (-3)^2 + 0^2 = raiz4 + 9 + 0 = raiz13 . Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional:
Substituindo os valores:

Resposta

O comprimento da mediana relativa ao lado é unidades.

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