Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva para as condições dadas em cada caso.
(a) Comprimento da corda principal 5; vértices
e
.
(a) Comprimento da corda principal 5; vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado diz que temos uma elipse com centro na origem e que os vértices estão em
e
. Além disso, a corda principal tem comprimento 5. Vamos precisar usar as fórmulas da equação da elipse e entender como os parâmetros se relacionam.
Passo 2
Primeiro, identificamos que os vértices da elipse são
e
. Isso nos diz que o eixo maior da elipse está ao longo do eixo x, e a distância do centro aos vértices é
. A fórmula geral da elipse com eixo maior na horizontal é:
onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir o valor de
. O enunciado menciona que a corda principal tem comprimento 5. Na elipse, a corda paralela ao eixo menor que passa pelos focos é chamada de “corda principal” e seu comprimento é dado por:
Sabemos que esse comprimento é 5, então podemos escrever:
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Então,
.
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, podemos substituir na fórmula geral da elipse:
Resposta
A equação da elipse é: