Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva para as condições dadas em cada caso.
(a) Comprimento da corda principal 5; vértices A1(-10,0) e A2 10,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado diz que temos uma elipse com centro na origem e que os vértices estão em A1(-10,0) e A2(10,0). Além disso, a corda principal tem comprimento 5. Vamos precisar usar as fórmulas da equação da elipse e entender como os parâmetros se relacionam.

Passo 2

Primeiro, identificamos que os vértices da elipse são A1(-10,0) e A2(10,0). Isso nos diz que o eixo maior da elipse está ao longo do eixo x, e a distância do centro aos vértices é a = 10. A fórmula geral da elipse com eixo maior na horizontal é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
onde a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir o valor de b. O enunciado menciona que a corda principal tem comprimento 5. Na elipse, a corda paralela ao eixo menor que passa pelos focos é chamada de “corda principal” e seu comprimento é dado por:
Comprimento da corda principal = 2b^2a
Sabemos que esse comprimento é 5, então podemos escrever:
2b^210 = 5

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar b^2:
2b^210 = 5 b^25 = 5 b^2 = 25
Então, b = 5.

Passo 5

Com os valores de a e b encontrados, podemos substituir na fórmula geral da elipse:
x^210^2 + y^25^2 = 1 x^2100 + y^225 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^2100 + y^225 = 1

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