Plote os seguintes paraboloides:
z=x^2+10 x+y^2+20 y-10

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos plotar o paraboloide dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas chamadas paraboloides.

Passo 2

Para facilitar o desenho do paraboloide, é útil completar o quadrado nos termos de e . Isso nos ajudará a identificar o vértice do paraboloide e a sua orientação no espaço.

Passo 3

Começamos completando o quadrado para o termo de x^2 + 10x = (x + 5)^2 - 25 :
Aqui, adicionamos e subtraímos (que é ) para completar o quadrado.

Passo 4

Fazemos o mesmo para o termo de y^2 + 20y = (y + 10)^2 - 100 :
Adicionamos e subtraímos (que é ) para completar o quadrado.

Passo 5

Substituímos essas expressões de volta na equação original do paraboloide:
z = (x + 5)^2 - 25 + (y + 10)^2 - 100 - 10

Passo 6

Simplificamos os termos constantes:
z = (x + 5)^2 + (y + 10)^2 - 135

Passo 7

Agora, a equação está na forma padrão de um paraboloide:
z = (x - h)^2 + (y - k)^2 + c
onde o vértice está em . Comparando, vemos que o vértice é .

Passo 8

Com a equação na forma simplificada e o vértice identificado, podemos plotar o paraboloide. Sabemos que ele é simétrico em relação aos eixos e e se abre na direção positiva de .

Resposta

O paraboloide pode ser plotado na forma , com vértice em .

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