Plote os seguintes paraboloides:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos plotar o paraboloide dado pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas chamadas paraboloides.
Passo 2
Para facilitar o desenho do paraboloide, é útil completar o quadrado nos termos de
e
. Isso nos ajudará a identificar o vértice do paraboloide e a sua orientação no espaço.
Passo 3
Começamos completando o quadrado para o termo de
:
Aqui, adicionamos e subtraímos
(que é
) para completar o quadrado.
Passo 4
Fazemos o mesmo para o termo de
:
Adicionamos e subtraímos
(que é
) para completar o quadrado.
Passo 5
Substituímos essas expressões de volta na equação original do paraboloide:
Passo 6
Simplificamos os termos constantes:
Passo 7
Agora, a equação está na forma padrão de um paraboloide:
onde o vértice está em
. Comparando, vemos que o vértice é
.
Passo 8
Com a equação na forma simplificada e o vértice identificado, podemos plotar o paraboloide. Sabemos que ele é simétrico em relação aos eixos
e
e se abre na direção positiva de
.
Resposta
O paraboloide
pode ser plotado na forma
, com vértice em
.