Plote os seguintes cones:
z=raiz3 x^2+7 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para plotar o cone dado pela equação . Então, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com superfícies quadricas como os cones. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa equação define a forma do cone e depois esboçar seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação do cone: . Essa é uma forma de representar um cone duplo na geometria analítica, onde é uma função dos valores de e . O que precisamos fazer é entender como os coeficientes de e influenciam a abertura e a inclinação do cone.

Passo 3

A equação pode ser reescrita ao quadrado para facilitar a visualização:
z^2 = 3x^2 + 7y^2
Isso nos mostra que temos um cone centrado na origem (0,0,0) e simétrico em relação ao eixo . Os coeficientes 3 e 7 indicam que o cone se estende mais rapidamente ao longo do eixo do que ao longo do eixo , porque o coeficiente de é maior.

Passo 4

Para plotar esse cone, vamos identificar algumas se��ões importantes:
  1. Seção no plano z = raiz3x^2 Rightarrow z = raiz3|x| (quando z = raiz7y^2 Rightarrow z = raiz7|y| ):
    0 = raiz3x^2 + 7y^2 Rightarrow x = 0 e y = 0
    Isso significa que, nesse plano, o cone tem uma inclinação determinada pelo coeficiente .
  2. Seção no plano (quando ):
    Aqui, a inclinação é mais acentuada devido ao coeficiente .
  3. Seção no plano (quando ):
    Apenas o ponto de origem satisfaz essa condição.

Passo 5

Agora, juntando tudo isso, o cone se estende para cima e para baixo da origem, com a abertura mais ampla ao longo do eixo devido ao maior coeficiente. Para desenhar:
  • Trace os eixos , e em um sistema de coordenadas tridimensional.
  • Desenhe as duas linhas de inclinação no plano com inclinação e no plano com inclinação .
  • Conecte esses pontos para formar a superfície do cone, garantindo que seja simétrico em relação ao eixo .

Resposta

O gr��fico do cone é uma superfície simétrica em relação ao eixo , com abertura mais ampla ao longo do eixo do que ao longo do eixo , formando um cone duplo centrado na origem.

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