Plote os seguintes cones:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para plotar o cone dado pela equação
. Então, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com superfícies quadricas como os cones. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa equação define a forma do cone e depois esboçar seu gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação do cone:
. Essa é uma forma de representar um cone duplo na geometria analítica, onde
é uma função dos valores de
e
. O que precisamos fazer é entender como os coeficientes de
e
influenciam a abertura e a inclinação do cone.
Passo 3
A equação pode ser reescrita ao quadrado para facilitar a visualização:
Isso nos mostra que temos um cone centrado na origem (0,0,0) e simétrico em relação ao eixo
. Os coeficientes 3 e 7 indicam que o cone se estende mais rapidamente ao longo do eixo
do que ao longo do eixo
, porque o coeficiente de
é maior.
Passo 4
Para plotar esse cone, vamos identificar algumas se��ões importantes:
-
Seção no plano
(quando ): Isso significa que, nesse plano, o cone tem uma inclinação determinada pelo coeficiente. -
Seção no plano
(quando ): Aqui, a inclinação é mais acentuada devido ao coeficiente. -
Seção no plano
(quando ): Apenas o ponto de origem satisfaz essa condição.
Passo 5
Agora, juntando tudo isso, o cone se estende para cima e para baixo da origem, com a abertura mais ampla ao longo do eixo
devido ao maior coeficiente. Para desenhar:
- Trace os eixos
, e em um sistema de coordenadas tridimensional. - Desenhe as duas linhas de inclinação no plano
com inclinação e no plano com inclinação . - Conecte esses pontos para formar a superfície do cone, garantindo que seja simétrico em relação ao eixo
.
Resposta
O gr��fico do cone
é uma superfície simétrica em relação ao eixo
, com abertura mais ampla ao longo do eixo
do que ao longo do eixo
, formando um cone duplo centrado na origem.