Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva para as condições dadas em cada caso.
(b) Focos
e
; semi-eixo maior
.
(b) Focos
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma elipse com centro na origem (0,0). Sabemos onde estão os dois focos:
e
. Também nos foi dado que o semi-eixo maior
. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa elipse.
Para resolver isso, precisamos lembrar algumas propriedades das elipses:
- A distância dos focos ao centro é representada por
. - A relação entre os semi-eixos é dada por
, onde é o semi-eixo menor. - A equação padrão da elipse depende da orientação do seu eixo maior.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
. Os focos estão localizados em
e
, o que significa que a distância do centro (0,0) a cada foco é
.
Passo 3
Sabemos que o semi-eixo maior
. Agora, vamos usar a relação
para encontrar
:
Passo 4
Como os focos estão ao longo do eixo y, isso significa que o eixo maior está na direção vertical. Portanto, a fórmula padrão da elipse será:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação da elipse é: