Escreva a equação reduzida da elipse, dados os focos ( pm 5,0) e dois vértices ( pm 13,0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever a equação reduzida de uma elipse, sabendo que os focos estão nos pontos (pm 5, 0) e os vértices estão em (pm 13, 0). A matéria aqui envolve o estudo das elipses na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender os elementos que definem uma elipse: os focos, os vértices, e as relações entre as distâncias desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Como os focos estão em (pm 5, 0) e os vértices em (pm 13, 0), percebemos que ambos estão alinhados ao longo do eixo x e centrados na origem (0,0). Isso significa que nossa elipse está centrada na origem.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a equação reduzida da elipse com o eixo maior ao longo do eixo x é dada por:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
onde:
  • é a distância do centro aos vértices (semi-eixo maior),
  • é a distância do centro aos co-vértices (semi-eixo menor),
  • e é a distância do centro aos focos.

Passo 4

Sabemos que os vértices estão em (pm 13, 0), então a distância do centro aos vértices é .

Passo 5

Os focos estão em (pm 5, 0), então a distância do centro aos focos é .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar c^2 = a^2 - b^2 . Temos a relação fundamental da elipse:
5^2 = 13^2 - b^2
Vamos substituir os valores que já conhecemos:
25 = 169 - b^2

Passo 7

Resolvendo para b^2 = 169 - 25 :
b^2 = 144
Então, .

Passo 8

Agora que temos todos os valores, podemos substituir na equação reduzida da elipse:
x^213^2 + y^212^2 = 1
x^2169 + y^2144 = 1

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
x^2169 + y^2144 = 1

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