Escreva a equação reduzida da elipse, dados os focos e dois vértices ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever a equação reduzida de uma elipse, sabendo que os focos estão nos pontos e os vértices estão em . A matéria aqui envolve o estudo das elipses na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender os elementos que definem uma elipse: os focos, os vértices, e as relações entre as distâncias desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Como os focos estão em e os vértices em , percebemos que ambos estão alinhados ao longo do eixo x e centrados na origem . Isso significa que nossa elipse está centrada na origem.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a equação reduzida da elipse com o eixo maior ao longo do eixo x é dada por:
onde:
é a distância do centro aos vértices (semi-eixo maior),
é a distância do centro aos co-vértices (semi-eixo menor),
e é a distância do centro aos focos.
Passo 4
Sabemos que os vértices estão em , então a distância do centro aos vértices é .
Passo 5
Os focos estão em , então a distância do centro aos focos é .
Passo 6
Agora, precisamos encontrar . Temos a relação fundamental da elipse:
Vamos substituir os valores que já conhecemos:
Passo 7
Resolvendo para :
Então, .
Passo 8
Agora que temos todos os valores, podemos substituir na equação reduzida da elipse: