Escreva a equação reduzida da elipse, dados os focos
e dois vértices
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever a equação reduzida de uma elipse, sabendo que os focos estão nos pontos
e os vértices estão em
. A matéria aqui envolve o estudo das elipses na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender os elementos que definem uma elipse: os focos, os vértices, e as relações entre as distâncias desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Como os focos estão em
e os vértices em
, percebemos que ambos estão alinhados ao longo do eixo x e centrados na origem
. Isso significa que nossa elipse está centrada na origem.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a equação reduzida da elipse com o eixo maior ao longo do eixo x é dada por:
onde:
-
é a distância do centro aos vértices (semi-eixo maior), -
é a distância do centro aos co-vértices (semi-eixo menor), - e
é a distância do centro aos focos.
Passo 4
Sabemos que os vértices estão em
, então a distância do centro aos vértices é
.
Passo 5
Os focos estão em
, então a distância do centro aos focos é
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
. Temos a relação fundamental da elipse:
Vamos substituir os valores que já conhecemos:
Passo 7
Resolvendo para
:
Então,
.
Passo 8
Agora que temos todos os valores, podemos substituir na equação reduzida da elipse:
Resposta
A equação reduzida da elipse é: