Dadas as coordenadas dos vértices A1(-1,-3) e A2(3,-3) e do foco F(0,-3), determinar as equações da elipse e de suas diretrizes.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de uma elipse e suas diretrizes. Para isso, vamos usar conceitos de elipses, como seus vértices, foco, e as fórmulas que relacionam esses elementos.

Passo 2

Primeiro, identifique os vértices da elipse: A1(-1,-3) e A2(3,-3). Como os dois pontos têm a mesma coordenada y, sabemos que o eixo principal é horizontal.

Passo 3

Encontramos o centro da elipse, que é o ponto médio entre os vértices. A fórmula para o ponto médio entre (x1, y1) e (x2, y2) é:
C(x1 + x22, y1 + y22)
Aplicando:
C(-1 + 32, -3 + (-3)2) = C(1, -3)
Então, o centro da elipse é (1, -3).

Passo 4

Calcule o semi-eixo maior a. A distância entre os vértices é 2a, então:
2a = distância entre A1 e A2 = 3 - (-1) = 4 â
Portanto:
a = 42 = 2

Passo 5

Identifique a distância do centro ao foco, que é c. Já que o foco dado é F(0, -3) e o centro é (1, -3):
c = |0 - 1| = 1

Passo 6

Encontre o semi-eixo menor b usando a relação:
b^2 = a^2 - c^2
Substituindo:
b^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3
Então, b = raiz3.

Passo 7

Escreva a equação da elipse na forma padrão:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro da elipse. Substituindo os valores:
(x - 1)^24 + (y + 3)^23 = 1

Passo 8

Agora, vamos encontrar as equações das diretrizes da elipse. As diretrizes de uma elipse com eixo horizontal são dadas por:
x = h pm a^2c
Substituindo:
a^2c = 41 = 4
Portanto:
x = 1 + 4 = 5 e x = 1 - 4 = -3

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 1)^24 + (y + 3)^23 = 1
E as equações das diretrizes são:
x = 5 e x = -3

Exercícios relacionados

Escreva a equação reduzida da elipse, dados os focos (0, pm 6) e a=17;
Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva para as condições dadas em cada caso.
(b) Focos F1(0,-6) e F2 0,6); semi-eixo maior a=8.
Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por A=(3,2) e B=(1,4) e tem reta focal o eixo O y;
Resolva as equações:
|lll2 & 4 & 1 2 & 4 & x 3 & 1 & 2|=0