Dadas as coordenadas dos vértices
e
e do foco
, determinar as equações da elipse e de suas diretrizes.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de uma elipse e suas diretrizes. Para isso, vamos usar conceitos de elipses, como seus vértices, foco, e as fórmulas que relacionam esses elementos.
Passo 2
Primeiro, identifique os vértices da elipse:
e
. Como os dois pontos têm a mesma coordenada
, sabemos que o eixo principal é horizontal.
Passo 3
Encontramos o centro da elipse, que é o ponto médio entre os vértices. A fórmula para o ponto médio entre
e
é:
Aplicando:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 4
Calcule o semi-eixo maior
. A distância entre os vértices é
, então:
Portanto:
Passo 5
Identifique a distância do centro ao foco, que é
. Já que o foco dado é
e o centro é
:
Passo 6
Encontre o semi-eixo menor
usando a relação:
Substituindo:
Então,
.
Passo 7
Escreva a equação da elipse na forma padrão:
Onde
é o centro da elipse. Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, vamos encontrar as equações das diretrizes da elipse. As diretrizes de uma elipse com eixo horizontal são dadas por:
Substituindo:
Portanto:
Resposta
A equação da elipse é:
E as equações das diretrizes são:
Exercícios relacionados
Escreva a equação reduzida da elipse, dados os focos
e
;
Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva para as condições dadas em cada caso.
(b) Focos e
; semi-eixo maior
.
(b) Focos
Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por
e
e tem reta focal o eixo
;
Resolva as equações: