Escreva a equação reduzida da elipse, dados os focos
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma elipse, sabendo que os focos estão nos pontos
e que o valor de
é
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição dos focos. Os focos
indicam que a elipse está centrada na origem
e que o eixo maior está no eixo y. Isso significa que a “altura” da elipse é maior que a “largura”.
Passo 3
Sabemos que em uma elipse, a relação entre os parâmetros é dada por:
Onde:
-
é o semi-eixo maior (já nos deram ), -
é o semi-eixo menor, -
é a distância do centro até cada foco.
Passo 4
Vamos identificar o valor de
. Como os focos estão em
, a distância
é
. Agora, substituímos na fórmula:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a equação reduzida da elipse. Como o eixo maior está no eixo y, a fórmula fica:
Substituindo
e
:
Resposta
A equação reduzida da elipse é:
Exercícios relacionados
Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva para as condições dadas em cada caso.
(b) Focos e
; semi-eixo maior
.
(b) Focos
Escreva a equação reduzida da elipse, dados os focos
e dois vértices
;
Dadas as coordenadas dos vértices
e
e do foco
, determinar as equações da elipse e de suas diretrizes.
Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por
e
e tem reta focal o eixo
;