Escreva a equação reduzida da elipse, dados os focos (0, pm 6) e a=17;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma elipse, sabendo que os focos estão nos pontos (0, pm 6) e que o valor de a é 17. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição dos focos. Os focos (0, pm 6) indicam que a elipse está centrada na origem (0,0) e que o eixo maior está no eixo y. Isso significa que a “altura” da elipse é maior que a “largura”.

Passo 3

Sabemos que em uma elipse, a relação entre os parâmetros é dada por:
a^2 = b^2 + c^2
Onde:
  • a é o semi-eixo maior (já nos deram a = 17),
  • b é o semi-eixo menor,
  • c é a distância do centro até cada foco.

Passo 4

Vamos identificar o valor de c. Como os focos estão em (0, pm 6), a distância c é 6. Agora, substituímos na fórmula:
17^2 = b^2 + 6^2
289 = b^2 + 36

Passo 5

Resolvendo para b^2:
b^2 = 289 - 36
b^2 = 253

Passo 6

Com os valores de a^2 e b^2 encontrados, podemos escrever a equação reduzida da elipse. Como o eixo maior está no eixo y, a fórmula fica:
y^2a^2 + x^2b^2 = 1
Substituindo a^2 = 289 e b^2 = 253:
y^2289 + x^2253 = 1

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
y^2289 + x^2253 = 1

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