Para cada uma das elipses dadas determinar: o comprimento do semi-eixo maior, o comprimento do semi-eixo menor as coordenadas dos focos e a excentricidade. Faça alguns esboços a mão livre.
(a) x^2169+y^2144=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A questão pede para a gente encontrar o comprimento dos semi-eixos maior e menor, as coordenadas dos focos e a excentricidade da elipse dada pela equação x^2169+y^2144=1. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma elipse e as fórmulas relacionadas aos seus componentes principais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação da elipse. A equação geral de uma elipse com eixo maior no eixo x^2a^2 + y^2b^2 = 1 é:
Aqui, é o comprimento do semi-eixo maior e é o comprimento do semi-eixo menor. Nosso objetivo é encontrar os valores de , , os focos e a excentricidade .

Passo 3

Vamos identificar os valores de x^2169 + y^2144 = 1 e a^2 = 169 e b^2 = 144 na equação dada:
a = raiz169 = 13
Comparando com a forma padrão, temos:
b = raiz144 = 12
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar e :
Portanto, o semi-eixo maior é 13 unidades e o semi-eixo menor é 12 unidades.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos focos. Para isso, usamos a relação:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo os valores que encontramos:
c^2 = 169 - 144 = 25
c = raiz25 = 5
Os focos estão localizados a uma distância (pm c, 0) = (pm 5, 0) do centro da elipse ao longo do eixo maior. Como nosso eixo maior está no eixo , as coordenadas dos focos são:
Portanto, os focos são e .

Passo 5

Vamos calcular a excentricidade e = ca da elipse, que mede o quão alongada ela é. A excentricidade é dada por:
e = 513 approx 0,3846
Usando os valores que já temos:
Então, a excentricidade da elipse é aproximadamente 0,3846.

Passo 6

Para fazer o esboço à mão livre da elipse, siga esses passos:
  1. Desenhe um sistema de coordenadas e .
  2. Marque o centro da elipse na origem .
  3. Meça e marque o semi-eixo maior unidades ao longo do eixo .
  4. Meça e marque o semi-eixo menor unidades ao longo do eixo .
  5. Desenhe a elipse conectando esses pontos, certificando-se de que os focos e estejam indicados no eixo .

Resposta

  • Semi-eixo maior ( ): 13 unidades
  • Semi-eixo menor ( ): 12 unidades
  • Coordenadas dos focos: e
  • Excentricidade ( ): aproximadamente 0,3846

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