Para cada uma das elipses dadas determinar: o comprimento do semi-eixo maior, o comprimento do semi-eixo menor as coordenadas dos focos e a excentricidade. Faça alguns esboços a mão livre.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A questão pede para a gente encontrar o comprimento dos semi-eixos maior e menor, as coordenadas dos focos e a excentricidade da elipse dada pela equação
. Para isso, vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma elipse e as fórmulas relacionadas aos seus componentes principais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação da elipse. A equação geral de uma elipse com eixo maior no eixo
é:
Aqui,
é o comprimento do semi-eixo maior e
é o comprimento do semi-eixo menor. Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
, os focos
e a excentricidade
.
Passo 3
Vamos identificar os valores de
e
na equação dada:
Comparando com a forma padrão, temos:
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar
e
:
Portanto, o semi-eixo maior
é 13 unidades e o semi-eixo menor
é 12 unidades.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos focos. Para isso, usamos a relação:
Substituindo os valores que encontramos:
Os focos estão localizados a uma distância
do centro da elipse ao longo do eixo maior. Como nosso eixo maior está no eixo
, as coordenadas dos focos são:
Portanto, os focos são
e
.
Passo 5
Vamos calcular a excentricidade
da elipse, que mede o quão alongada ela é. A excentricidade é dada por:
Usando os valores que já temos:
Então, a excentricidade da elipse é aproximadamente 0,3846.
Passo 6
Para fazer o esboço à mão livre da elipse, siga esses passos:
- Desenhe um sistema de coordenadas
e . - Marque o centro da elipse na origem
. - Meça e marque o semi-eixo maior
unidades ao longo do eixo . - Meça e marque o semi-eixo menor
unidades ao longo do eixo . - Desenhe a elipse conectando esses pontos, certificando-se de que os focos
e estejam indicados no eixo .
Resposta
- Semi-eixo maior (
): 13 unidades - Semi-eixo menor (
): 12 unidades - Coordenadas dos focos:
e - Excentricidade (
): aproximadamente 0,3846
Exercícios relacionados
Determine o módulo do número complexo
.
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Um ponto
se desloca de modo que a soma de sua distância aos pontos
e
é igual a
. A equação cartesiana
dessa elipse é.