Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x y^3 raizx^2+7 y^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais da função . Isso significa que precisamos calcular como a função muda em relação a mantendo constante e vice-versa. Vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a f(x, y) = x y^3 (x^2 + 7 y^5)^12 , que vamos chamar de .
A função é . Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
Agora, aplicamos a regra do produto, já que temos um produto de e . A derivada do produto é .

Passo 3

Vamos identificar u = x y^3 e v = (x^2 + 7 y^5)^12 :
u' = partialpartial x (x y^3) = y^3
v' = partialpartial x (x^2 + 7 y^5)^12 = 12 (x^2 + 7 y^5)^-12 cdot 2x = xraizx^2 + 7 y^5
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto:
fx = u' cdot v + u cdot v'
Substituindo:
fx = y^3 cdot (x^2 + 7 y^5)^12 + x y^3 cdot xraizx^2 + 7 y^5
Simplificando:
fx = y^3 raizx^2 + 7 y^5 + x^2 y^3raizx^2 + 7 y^5

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a f(x, y) = x y^3 (x^2 + 7 y^5)^12 , que chamaremos de u' = partialpartial y (x y^3) = 3 x y^2 .
Usaremos novamente a regra do produto e a regra da cadeia. A função é:
v' = partialpartial y (x^2 + 7 y^5)^12 = 12 (x^2 + 7 y^5)^-12 cdot 35 y^4 = 35 y^42 raizx^2 + 7 y^5
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra do produto para fy = u' cdot v + u cdot v' :
fy = 3 x y^2 cdot raizx^2 + 7 y^5 + x y^3 cdot 35 y^42 raizx^2 + 7 y^5
Substituindo:
fy = 3 x y^2 raizx^2 + 7 y^5 + 35 x y^72 raizx^2 + 7 y^5
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função fx = y^3 raizx^2 + 7 y^5 + x^2 y^3raizx^2 + 7 y^5 são:
fy = 3 x y^2 raizx^2 + 7 y^5 + 35 x y^72 raizx^2 + 7 y^5

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