Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Isso significa que precisamos calcular como a função muda em relação a
mantendo
constante e vice-versa. Vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que vamos chamar de
.
A função é
. Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
Agora, aplicamos a regra do produto, já que temos um produto de
e
. A derivada do produto
é
.
Passo 3
Vamos identificar
e
:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que chamaremos de
.
Usaremos novamente a regra do produto e a regra da cadeia. A função é:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Aplicando a regra do produto para
:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
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Determine o módulo do número complexo
.
Para cada uma das elipses dadas determinar: o comprimento do semi-eixo maior, o comprimento do semi-eixo menor as coordenadas dos focos e a excentricidade. Faça alguns esboços a mão livre.
(a)
(a)