Um ponto
se desloca de modo que a soma de sua distância aos pontos
e
é igual a
. A equação cartesiana
dessa elipse é.
Passo 1
Então, a gente tem um ponto
que se move de tal forma que a soma das suas distâncias aos pontos
e
é igual a
vezes a distância entre
e
. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa elipse na forma geral:
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses e a fórmula da distância entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância entre os focos
e
usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Passo 3
A condição do problema diz que a soma das distâncias de
aos focos
e
é igual a
:
Portanto, a soma das distâncias é constante e igual a 8, característica de uma elipse.
Passo 4
Sabemos que a definição de uma elipse é o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. Como os focos não estão alinhados nos eixos principais, vamos derivar a equação geral da elipse a partir dessa definição.
Passo 5
Escrevemos a condição dada na forma de equação:
Para simplificar essa equação, vamos isolar uma das raízes e elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes.
Passo 6
Isolamos uma das raízes:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Passo 7
Reorganizamos os termos para isolar novamente a raiz:
Simplificando a expressão à esquerda:
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Passo 8
Dividimos ambos os lados por -8 para simplificar:
Isolamos a raiz:
Elevando ambos os lados ao quadrado novamente:
Passo 9
Expandimos ambos os lados:
À esquerda:
À direita:
Passo 10
Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Reorganizamos os termos:
Subtraímos o lado direito do lado esquerdo:
Passo 11
Levamos todos os termos para um lado para obter a equação geral:
Resposta
A equação cartesiana da elipse é:
Exercícios relacionados
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Para cada uma das elipses dadas determinar: o comprimento do semi-eixo maior, o comprimento do semi-eixo menor as coordenadas dos focos e a excentricidade. Faça alguns esboços a mão livre.
(a)
(a)
Calcule o determinante da matriz
, sendo:
Dados os vértices
e
e os focos
e
de uma elipse, calcular a sua excentricidade e o comprimento da corda principal.