Um ponto P(x, y) se desloca de modo que a soma de sua distância aos pontos F1(-8,3) e F2(-4,7) é igual a raiz2 dist(F1, F2). A equação cartesiana (A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0) dessa elipse é.

Passo 1

Então, a gente tem um ponto que se move de tal forma que a soma das suas distâncias aos pontos e é igual a vezes a distância entre e . Nosso objetivo é encontrar a equação dessa elipse na forma geral: . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os focos dist(F1, F2) = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e dist(F1, F2) = raiz(-4 - (-8))^2 + (7 - 3)^2 = raiz4^2 + 4^2 = raiz16 + 16 = raiz32 = 4raiz2 usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:

Passo 3

A condição do problema diz que a soma das distâncias de dist(P, F1) + dist(P, F2) = raiz2 times 4raiz2 = 8 aos focos e é igual a :
Portanto, a soma das distâncias é constante e igual a 8, característica de uma elipse.

Passo 4

Sabemos que a definição de uma elipse é o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. Como os focos não estão alinhados nos eixos principais, vamos derivar a equação geral da elipse a partir dessa definição.

Passo 5

Escrevemos a condição dada na forma de equação:
raiz(x + 8)^2 + (y - 3)^2 + raiz(x + 4)^2 + (y - 7)^2 = 8
Para simplificar essa equação, vamos isolar uma das raízes e elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes.

Passo 6

Isolamos uma das raízes:
raiz(x + 8)^2 + (y - 3)^2 = 8 - raiz(x + 4)^2 + (y - 7)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(x + 8)^2 + (y - 3)^2 = (8 - raiz(x + 4)^2 + (y - 7)^2)^2
Expandindo o lado direito:
(x + 8)^2 + (y - 3)^2 = 64 - 16raiz(x + 4)^2 + (y - 7)^2 + (x + 4)^2 + (y - 7)^2

Passo 7

Reorganizamos os termos para isolar novamente a raiz:
(x + 8)^2 + (y - 3)^2 - (x + 4)^2 - (y - 7)^2 - 64 = -16raiz(x + 4)^2 + (y - 7)^2
Simplificando a expressão à esquerda:
[(x + 8)^2 - (x + 4)^2] + [(y - 3)^2 - (y - 7)^2] - 64 = -16raiz(x + 4)^2 + (y - 7)^2
Expandindo os quadrados:
(8x + 48) + (8y - 40) - 64 = -16raiz(x + 4)^2 + (y - 7)^2
Simplificando:
8x + 8y - 56 = -16raiz(x + 4)^2 + (y - 7)^2

Passo 8

Dividimos ambos os lados por -8 para simplificar:
-x - y + 7 = 2raiz(x + 4)^2 + (y - 7)^2
Isolamos a raiz:
raiz(x + 4)^2 + (y - 7)^2 = -x - y + 72
Elevando ambos os lados ao quadrado novamente:
(x + 4)^2 + (y - 7)^2 = (-x - y + 72)^2

Passo 9

Expandimos ambos os lados:
À esquerda:
x^2 + 8x + 16 + y^2 - 14y + 49
À direita:
(-x - y + 7)^24 = x^2 + 2xy + y^2 -14x -14y + 494

Passo 10

Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
4x^2 + 32x + 64 + 4y^2 - 56y + 196 = x^2 + 2xy + y^2 -14x -14y + 49
Reorganizamos os termos:
4x^2 + 4y^2 + 32x - 56y + 260 = x^2 + y^2 + 2xy -14x -14y + 49
Subtraímos o lado direito do lado esquerdo:
3x^2 + 3y^2 + 46x - 42y + 211 = 2xy

Passo 11

Levamos todos os termos para um lado para obter a equação geral:
3x^2 - 2xy + 3y^2 + 46x - 42y + 211 = 0

Resposta

A equação cartesiana da elipse é:
3x^2 - 2x y + 3y^2 + 46x - 42y + 211 = 0

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