Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=raizx y-7 x8 y-raizx y-1

Passo 1

Nesta questão, temos que encontrar as derivadas parciais da função . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável individualmente. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente, a regra da cadeia e conhecer as derivadas de funções básicas como a raiz quadrada e polinômios.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de partial fpartial x = v cdot partial upartial x - u cdot partial vpartial xv^2 em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra. A regra do quociente diz que:
onde e .

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar partial upartial x = y2raizx y - 7 e .
Para :
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 4

Agora, para partial vpartial x = -y2raizx y - 1 :
  • A derivada de em relação a é , já que é considerada constante.
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Portanto,

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente para encontrar partial fpartial x = (8y - raizx y - 1) ( y2raizx y - 7 ) - (raizx y - 7x) ( -y2raizx y - 1 )(8y - raizx y - 1)^2 :

Passo 6

Simplificando a expressão:
partial fpartial x = (8y - raizx y - 1) ( y2raizx y - 7 ) + (raizx y - 7x) ( y2raizx y - 1 )(8y - raizx y - 1)^2

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = v cdot partial upartial y - u cdot partial vpartial yv^2 em relação a , ou seja, . Usaremos novamente a regra do quociente:
onde e .

Passo 8

Vamos encontrar partial upartial y = x2raizx y e .
Para :
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 9

Agora, para partial vpartial y = 8 - x2raizx y - 1 :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Portanto,

Passo 10

Aplicando a regra do quociente para encontrar partial fpartial y = (8y - raizx y - 1) ( x2raizx y ) - (raizx y - 7x) ( 8 - x2raizx y - 1 )(8y - raizx y - 1)^2 :

Passo 11

Simplificando a expressão:
partial fpartial y = (8y - raizx y - 1) ( x2raizx y ) - (raizx y - 7x) ( 8 - x2raizx y - 1 )(8y - raizx y - 1)^2

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = (8y - raizx y - 1) ( y2raizx y - 7 ) + (raizx y - 7x) ( y2raizx y - 1 )(8y - raizx y - 1)^2 são:
partial fpartial y = (8y - raizx y - 1) ( x2raizx y ) - (raizx y - 7x) ( 8 - x2raizx y - 1 )(8y - raizx y - 1)^2
e

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