Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Nesta questão, temos que encontrar as derivadas parciais da função
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável individualmente. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente, a regra da cadeia e conhecer as derivadas de funções básicas como a raiz quadrada e polinômios.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra. A regra do quociente diz que:
onde
e
.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar
e
.
Para
:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é .
Então,
Passo 4
Agora, para
:
- A derivada de
em relação a é , já que é considerada constante. - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Portanto,
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente para encontrar
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usaremos novamente a regra do quociente:
onde
e
.
Passo 8
Vamos encontrar
e
.
Para
:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é .
Então,
Passo 9
Agora, para
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Portanto,
Passo 10
Aplicando a regra do quociente para encontrar
:
Passo 11
Simplificando a expressão:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
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(a)
(a)
Determine o módulo do número complexo
.
Um ponto
se desloca de modo que a soma de sua distância aos pontos
e
é igual a
. A equação cartesiana
dessa elipse é.
Calcule o determinante da matriz
, sendo: