(Página 241 a 242) Em cada um dos problemas 5 a 8, determinar os vértices
e
, os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
5)
5)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está pedindo para encontrar os vértices
e
, os focos e a excentricidade da elipse dada pela equação
. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre elipses. Para resolver, vamos precisar saber como colocar a equação da elipse na forma padrão e entender como identificar suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão da equação de uma elipse é:
Onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Para transformar
na forma padrão, vamos dividir todos os termos por 25:
Simplificando, temos:
Portanto,
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
e
tirando a raiz quadrada:
Isso significa que o semi-eixo maior é
e o semi-eixo menor é
.
Passo 5
Identificando os vértices da elipse, que estão localizados ao longo do eixo maior. Como
, o eixo maior está no eixo
. Assim, os vértices são:
Passo 6
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Os focos estão localizados ao longo do eixo maior, então:
Passo 7
A excentricidade
da elipse é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 8
Por fim, para esboçar o gráfico da elipse, plotamos os vértices
e
no eixo
, os focos
e
também no eixo
, mas mais próximos do centro do que os vértices, e marcamos os pontos que representam os semi-eixos
e
. A elipse será alongada ao longo do eixo
.
Resposta
Os vértices da elipse são
e
. Os focos estão em
e
, com uma excentricidade de aproximadamente
. O gráfico da elipse é uma curva alongada no eixo
com esses vértices e focos.
Exercícios relacionados
Escreva a equação reduzida da elipse, dados: os vértices
e excentricidade
, em que
. Os focos pertencem ao eixo
;
Determine o ponto médio entre
e
Alternativas | |
|
5,10 |
|
3,3 |
|
2,3 |
|
10,5 |
|
n.d.a |
Para cada uma das elipses a seguir, construir o gráfico, determinar os vértices
e
, os focos e a excentricidade:
Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
focos e
; excentricidade igual a
focos