(Página 241 a 242) Em cada um dos problemas 5 a 8, determinar os vértices e , os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está pedindo para encontrar os vértices e , os focos e a excentricidade da elipse dada pela equação . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre elipses. Para resolver, vamos precisar saber como colocar a equação da elipse na forma padrão e entender como identificar suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão da equação de uma elipse é:
Onde é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Para transformar na forma padrão, vamos dividir todos os termos por 25:
Simplificando, temos:
Portanto, e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar e tirando a raiz quadrada:
Isso significa que o semi-eixo maior é e o semi-eixo menor é .

Passo 5

Identificando os vértices da elipse, que estão localizados ao longo do eixo maior. Como , o eixo maior está no eixo . Assim, os vértices são:

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Os focos estão localizados ao longo do eixo maior, então:

Passo 7

A excentricidade da elipse é dada por:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 8

Por fim, para esboçar o gráfico da elipse, plotamos os vértices e no eixo , os focos e também no eixo , mas mais próximos do centro do que os vértices, e marcamos os pontos que representam os semi-eixos e . A elipse será alongada ao longo do eixo .

Resposta

Os vértices da elipse são e . Os focos estão em e , com uma excentricidade de aproximadamente . O gráfico da elipse é uma curva alongada no eixo com esses vértices e focos.

Exercícios relacionados

Escreva a equação reduzida da elipse, dados: os vértices e excentricidade , em que . Os focos pertencem ao eixo ;
Determine o ponto médio entre e
Alternativas
5,10
3,3
2,3
10,5
n.d.a
Para cada uma das elipses a seguir, construir o gráfico, determinar os vértices e , os focos e a excentricidade:
Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
focos e ; excentricidade igual a