(Página 241 a 242) Em cada um dos problemas 5 a 8, determinar os vértices A1 e A2, os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
5) 4 x^2+9 y^2=25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está pedindo para encontrar os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade da elipse dada pela equação 4x^2 + 9y^2 = 25. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre elipses. Para resolver, vamos precisar saber como colocar a equação da elipse na forma padrão e entender como identificar suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão da equação de uma elipse é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Onde a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.

Passo 3

Para transformar 4x^2 + 9y^2 = 25 na forma padrão, vamos dividir todos os termos por 25:
4x^225 + 9y^225 = 1
Simplificando, temos:
x^2254 + y^2259 = 1
Portanto, a^2 = 254 e b^2 = 259.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a e b tirando a raiz quadrada:
a = raiz254 = 52, b = raiz259 = 53
Isso significa que o semi-eixo maior é 52 e o semi-eixo menor é 53.

Passo 5

Identificando os vértices da elipse, que estão localizados ao longo do eixo maior. Como a > b, o eixo maior está no eixo x. Assim, os vértices são:
A1 = (-52, 0), A2 = (52, 0)

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2
Substituindo os valores:
c = raiz254 - 259 = raiz22536 - 10036 = raiz12536 = 5raiz56
Os focos estão localizados ao longo do eixo maior, então:
F1 = (-5raiz56, 0), F2 = (5raiz56, 0)

Passo 7

A excentricidade e da elipse é dada por:
e = ca
Substituindo os valores encontrados:
e = 5raiz5652 = raiz53 approx 0,745

Passo 8

Por fim, para esboçar o gráfico da elipse, plotamos os vértices A1 e A2 no eixo x, os focos F1 e F2 também no eixo x, mas mais próximos do centro do que os vértices, e marcamos os pontos que representam os semi-eixos a e b. A elipse será alongada ao longo do eixo x.

Resposta

Os vértices da elipse são A1(-52, 0) e A2(52, 0). Os focos estão em (-5raiz56, 0) e (5raiz56, 0), com uma excentricidade de aproximadamente 0,745. O gráfico da elipse é uma curva alongada no eixo x com esses vértices e focos.

Exercícios relacionados