Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica:
. Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de cônica é essa, desenhar um esboço à mão livre e determinar características como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz (se houver). Para resolver isso, vamos precisar conhecer as formas padrão das cônicas e como identificar cada uma através da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para identificar que tipo de cônica ela representa. Começamos isolando os termos:
Nessa forma, vemos que temos
positivo e
negativo. Quando os termos quadráticos têm sinais diferentes, isso indica que estamos lidando com uma hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos colocar a equação no formato padrão da hipérbole. O formato geral de uma hipérbole horizontal é:
Comparando com a nossa equação
, percebemos que
,
,
e
. Então, temos:
Passo 4
Com os valores de
e
determinados, podemos encontrar a distância focal
usando a relação:
Substituindo os valores:
Portanto, os focos estão localizados a uma distância
de cada vértice ao longo do eixo x.
Passo 5
Os vértices da hipérbole estão nos pontos
. Como
e
:
Passo 6
As assíntotas da hipérbole são linhas que a hipérbole se aproxima, dadas por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
A diretriz é uma linha relacionada à hipérbole, e sua distância
em relação ao centro é dada por:
Substituindo os valores:
As diretrizes estão localizadas a uma distância
do centro ao longo do eixo x.
Resposta
A equação
representa uma hipérbole com centro na origem
, vértices em
e
, focos em
e
, distância focal
, assíntotas dadas por
, e diretrizes localizadas a
unidades do centro ao longo do eixo x. O esboço à mão livre da hipérbole mostraria duas ramos simétricos em relação ao eixo x, aproximando-se das assíntotas.
Exercícios relacionados
Existe alguma transformação linear
tal que
e
?
Seja
o espaço vetorial de todas as funções
. Verifique se
é um subespaço de
nos seguintes casos:
(a) , o conjunto de todas as funções cujo valor em
é zero.
(b) , o conjunto de todas as funções que atribuem o mesmo valor a
e
.
© , o conjunto de todas as funções ímpares.
(a)
(b)
©
Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Escreva as equações das seguintes elipses: Os vértices vértices são
.