Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir). x^2-4 y^2-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica: . Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de cônica é essa, desenhar um esboço à mão livre e determinar características como focos, vértices, distância focal, assíntotas e diretriz (se houver). Para resolver isso, vamos precisar conhecer as formas padrão das cônicas e como identificar cada uma através da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para identificar que tipo de cônica ela representa. Começamos isolando os termos:
x^2 - 4y^2 = 1
Nessa forma, vemos que temos positivo e negativo. Quando os termos quadráticos têm sinais diferentes, isso indica que estamos lidando com uma hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos colocar a equação no formato padrão da hipérbole. O formato geral de uma hipérbole horizontal é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação a = 1 e b = 12 , percebemos que , , e . Então, temos:

Passo 4

Com os valores de c^2 = a^2 + b^2 e c^2 = 1 + (12)^2 = 1 + 14 = 54 Rightarrow c = raiz52 determinados, podemos encontrar a distância focal usando a relação:
Substituindo os valores:
Portanto, os focos estão localizados a uma distância de cada vértice ao longo do eixo x.

Passo 5

Os vértices da hipérbole estão nos pontos V1 = (-1, 0) e V2 = (1, 0) . Como e :

Passo 6

As assíntotas da hipérbole são linhas que a hipérbole se aproxima, dadas por:
y = k pm ba(x - h)
Substituindo os valores que temos:
y = 0 pm 121(x - 0) Rightarrow y = pm 12x

Passo 7

A diretriz é uma linha relacionada à hipérbole, e sua distância d = a^2c em relação ao centro é dada por:
d = 1raiz52 = 2raiz5 = 2raiz55
Substituindo os valores:
As diretrizes estão localizadas a uma distância do centro ao longo do eixo x.

Resposta

A equação representa uma hipérbole com centro na origem , vértices em e , focos em e , distância focal , assíntotas dadas por , e diretrizes localizadas a unidades do centro ao longo do eixo x. O esboço à mão livre da hipérbole mostraria duas ramos simétricos em relação ao eixo x, aproximando-se das assíntotas.

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