Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que verificar se certos conjuntos são subespaços do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as funções . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço. Basicamente, para que seja um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
O vetor zero (neste caso, a função que sempre dá zero) está em .
Se você pegar duas funções em e somá-las, o resultado também está em .
Se você pegar uma função em e multiplicar por um escalar, o resultado também está em .
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 2
Caso (a):, ou seja, o conjunto de todas as funções cujo valor em é zero.
Primeiro, vamos verificar se a função zero está em . A função zero satisfaz que , então está em .
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Se temos duas funções e em , então e . Então, . Portanto, também está em .
Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se e é um escalar, então . Logo, também está em .
Passo 3
Caso (b):, ou seja, o conjunto de todas as funções que atribuem o mesmo valor a e .
Primeiro, verificamos se a função zero está em . A função zero satisfaz que , então está em .
Agora, vamos checar a adição. Se temos duas funções e em , então e . Então, . Isso mostra que também está em .
Por último, a multiplicação por escalar. Se e é um escalar, então . Assim, também está em .