Seja o espaço vetorial de todas as funções . Verifique se é um subespaço de nos seguintes casos:
(a) , o conjunto de todas as funções cujo valor em é zero.
(b) , o conjunto de todas as funções que atribuem o mesmo valor a e .
© , o conjunto de todas as funções ímpares.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que verificar se certos conjuntos são subespaços do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as funções . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço. Basicamente, para que seja um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
  1. O vetor zero (neste caso, a função que sempre dá zero) está em .
  2. Se você pegar duas funções em e somá-las, o resultado também está em .
  3. Se você pegar uma função em e multiplicar por um escalar, o resultado também está em .
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 2

Caso (a): , ou seja, o conjunto de todas as funções cujo valor em é zero.
Primeiro, vamos verificar se a função zero está em . A função zero satisfaz que , então está em .
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Se temos duas funções e em , então e . Então, . Portanto, também está em .
Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se e é um escalar, então . Logo, também está em .

Passo 3

Caso (b): , ou seja, o conjunto de todas as funções que atribuem o mesmo valor a e .
Primeiro, verificamos se a função zero está em . A função zero satisfaz que , então está em .
Agora, vamos checar a adição. Se temos duas funções e em , então e . Então, . Isso mostra que também está em .
Por último, a multiplicação por escalar. Se e é um escalar, então . Assim, também está em .

Passo 4

Caso ©: , ou seja, o conjunto de todas as funções ímpares.
Vamos começar verificando se a função zero está em . A função zero satisfaz que , já que , então está em .
Agora, vamos verificar a adição. Se temos duas funções ímpares e , então para qualquer , . Portanto, também é ímpar e está em .
Por último, a multiplicação por escalar. Se e é um escalar, então . Assim, também está em .

Resposta

Em todos os casos (a), (b) e ©, o conjunto satisfaz as condições para ser um subespaço de . Portanto, é um subespaço de em todas as situações apresentadas.

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