Seja
o espaço vetorial de todas as funções
. Verifique se
é um subespaço de
nos seguintes casos:
(a)
, o conjunto de todas as funções cujo valor em
é zero.
(b)
, o conjunto de todas as funções que atribuem o mesmo valor a
e
.
©
, o conjunto de todas as funções ímpares.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que verificar se certos conjuntos
são subespaços do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço. Basicamente, para que
seja um subespaço de
, ele precisa satisfazer três condições:
- O vetor zero (neste caso, a função que sempre dá zero) está em
. - Se você pegar duas funções em
e somá-las, o resultado também está em . - Se você pegar uma função em
e multiplicar por um escalar, o resultado também está em .
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 2
Caso (a):
, ou seja, o conjunto de todas as funções cujo valor em
é zero.
Primeiro, vamos verificar se a função zero está em
. A função zero satisfaz que
, então está em
.
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Se temos duas funções
e
em
, então
e
. Então,
. Portanto,
também está em
.
Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se
e
é um escalar, então
. Logo,
também está em
.
Passo 3
Caso (b):
, ou seja, o conjunto de todas as funções que atribuem o mesmo valor a
e
.
Primeiro, verificamos se a função zero está em
. A função zero satisfaz que
, então está em
.
Agora, vamos checar a adição. Se temos duas funções
e
em
, então
e
. Então,
. Isso mostra que
também está em
.
Por último, a multiplicação por escalar. Se
e
é um escalar, então
. Assim,
também está em
.
Passo 4
Caso ©:
, ou seja, o conjunto de todas as funções ímpares.
Vamos começar verificando se a função zero está em
. A função zero satisfaz que
, já que
, então está em
.
Agora, vamos verificar a adição. Se temos duas funções ímpares
e
, então para qualquer
,
. Portanto,
também é ímpar e está em
.
Por último, a multiplicação por escalar. Se
e
é um escalar, então
. Assim,
também está em
.
Resposta
Em todos os casos (a), (b) e ©, o conjunto
satisfaz as condições para ser um subespaço de
. Portanto,
é um subespaço de
em todas as situações apresentadas.