Seja V o espaço vetorial de todas as funções f: R R. Verifique se W é um subespaço de V nos seguintes casos:
(a) W=f(x) mid f(1)=0, o conjunto de todas as funções cujo valor em x=1 é zero.
(b) W=f(x) mid f(3)=f(1), o conjunto de todas as funções que atribuem o mesmo valor a x=3 e x=1.
© W=f(x) mid f(-x)=-f(x), o conjunto de todas as funções ímpares.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que verificar se certos conjuntos W são subespaços do espaço vetorial V, que é o conjunto de todas as funções f: R R. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço. Basicamente, para que W seja um subespaço de V, ele precisa satisfazer três condições:
  1. O vetor zero (neste caso, a função que sempre dá zero) está em W.
  2. Se você pegar duas funções em W e somá-las, o resultado também está em W.
  3. Se você pegar uma função em W e multiplicar por um escalar, o resultado também está em W.
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 2

Caso (a): W=f(x) mid f(1)=0, ou seja, o conjunto de todas as funções cujo valor em x=1 é zero.
Primeiro, vamos verificar se a função zero está em W. A função zero satisfaz que f(1) = 0, então está em W.
Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Se temos duas funções f e g em W, então f(1) = 0 e g(1) = 0. Então, (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0. Portanto, f + g também está em W.
Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se f in W e c é um escalar, então (c cdot f)(1) = c cdot f(1) = c cdot 0 = 0. Logo, c cdot f também está em W.

Passo 3

Caso (b): W=f(x) mid f(3)=f(1), ou seja, o conjunto de todas as funções que atribuem o mesmo valor a x=3 e x=1.
Primeiro, verificamos se a função zero está em W. A função zero satisfaz que f(3) = 0 = f(1), então está em W.
Agora, vamos checar a adição. Se temos duas funções f e g em W, então f(3) = f(1) e g(3) = g(1). Então, (f + g)(3) = f(3) + g(3) = f(1) + g(1) = (f + g)(1). Isso mostra que f + g também está em W.
Por último, a multiplicação por escalar. Se f in W e c é um escalar, então (c cdot f)(3) = c cdot f(3) = c cdot f(1) = (c cdot f)(1). Assim, c cdot f também está em W.

Passo 4

Caso ©: W=f(x) mid f(-x)=-f(x), ou seja, o conjunto de todas as funções ímpares.
Vamos começar verificando se a função zero está em W. A função zero satisfaz que f(-x) = -f(x), já que 0 = -0, então está em W.
Agora, vamos verificar a adição. Se temos duas funções ímpares f e g, então para qualquer x, (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -(f + g)(x). Portanto, f + g também é ímpar e está em W.
Por último, a multiplicação por escalar. Se f in W e c é um escalar, então (c cdot f)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot (-f(x)) = -c cdot f(x) = -(c cdot f)(x). Assim, c cdot f também está em W.

Resposta

Em todos os casos (a), (b) e ©, o conjunto W satisfaz as condições para ser um subespaço de V. Portanto, W é um subespaço de V em todas as situações apresentadas.

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