Existe alguma transformação linear
tal que
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se existe uma transformação linear
que manda os vetores
em
,
em
e
em
. Vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz
tal que
para qualquer vetor
em
. Vamos supor que:
Então, temos:
Isso nos dá duas equações:
Agora, usando
:
Mais duas equações:
Também temos
:
Então:
Agora, vamos resolver as equações. De (5),
. Substituindo em (1):
De (6),
. Substituindo em (2):
Vamos conferir com as equações (3) e (4):
De (3):
De (3):
Já já dá um problema, mas vamos ver de qualquer forma.
De (4):
Ambas as equações não são satisfeitas, ou seja, há uma inconsistência.
Resposta
Não, não existe uma transformação linear
que satisfaça todas as condições dadas no enunciado.
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Seja
o espaço vetorial de todas as funções
. Verifique se
é um subespaço de
nos seguintes casos:
(a) , o conjunto de todas as funções cujo valor em
é zero.
(b) , o conjunto de todas as funções que atribuem o mesmo valor a
e
.
© , o conjunto de todas as funções ímpares.
(a)
(b)
©
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tem termos alternadamente positivos e negativos e seu termo geral tende a zero. Entretanto, a série é divergente. Por que isto não contradiz o Critério de Leibniz?
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dada por
.