Existe alguma transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2 tal que T(1,1)= (1,0), T(1,-1)=(3,1) e T(1,0)=(1,1) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se existe uma transformação linear que manda os vetores em , em e em . Vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma transformação linear A = a & b c & d pode ser representada por uma matriz T(1,1) = A 1 1 = a + b c + d = 1 0 tal que a + b = 1 (1) c + d = 0 (2) para qualquer vetor A 1 -1 = a - b c - d = 3 1 em a - b = 3 (3) c - d = 1 (4) . Vamos supor que:
A 1 0 = a c = 1 1
Então, temos:
a = 1 (5) c = 1 (6)
Isso nos dá duas equações:
1 + b = 1 Rightarrow b = 0
Agora, usando 1 + d = 0 Rightarrow d = -1 :
1 - 0 = 1 neq 3
Mais duas equações:
1 - (-1) = 2 neq 1
Também temos :
Então:
Agora, vamos resolver as equações. De (5), . Substituindo em (1):
De (6), . Substituindo em (2):
Vamos conferir com as equações (3) e (4):
De (3):
Já já dá um problema, mas vamos ver de qualquer forma.
De (4):
Ambas as equações não são satisfeitas, ou seja, há uma inconsistência.

Resposta

Não, não existe uma transformação linear que satisfaça todas as condições dadas no enunciado.

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