Existe alguma transformação linear
tal que
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se existe uma transformação linear
que manda os vetores
em
,
em
e
em
. Vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz
tal que
para qualquer vetor
em
. Vamos supor que:
Então, temos:
Isso nos dá duas equações:
Agora, usando
:
Mais duas equações:
Também temos
:
Então:
Agora, vamos resolver as equações. De (5),
. Substituindo em (1):
De (6),
. Substituindo em (2):
Vamos conferir com as equações (3) e (4):
De (3):
De (3):
Já já dá um problema, mas vamos ver de qualquer forma.
De (4):
Ambas as equações não são satisfeitas, ou seja, há uma inconsistência.
Resposta
Não, não existe uma transformação linear
que satisfaça todas as condições dadas no enunciado.