Existe alguma transformação linear tal que e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se existe uma transformação linear que manda os vetores em , em e em . Vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que para qualquer vetor em . Vamos supor que:
Então, temos:
Isso nos dá duas equações:
Agora, usando :
Mais duas equações:
Também temos :
Então:
Agora, vamos resolver as equações. De (5), . Substituindo em (1):
De (6), . Substituindo em (2):
Vamos conferir com as equações (3) e (4):
De (3):
Já já dá um problema, mas vamos ver de qualquer forma.
De (4):
Ambas as equações não são satisfeitas, ou seja, há uma inconsistência.

Resposta

Não, não existe uma transformação linear que satisfaça todas as condições dadas no enunciado.

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Seja o espaço vetorial de todas as funções . Verifique se é um subespaço de nos seguintes casos:
(a) , o conjunto de todas as funções cujo valor em é zero.
(b) , o conjunto de todas as funções que atribuem o mesmo valor a e .
© , o conjunto de todas as funções ímpares.
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dada por .