Escreva as equações das seguintes elipses: Os vértices vértices são
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica sobre elipses. O enunciado nos dá os vértices principais
e
, além dos co-vértices
e
. Para encontrar a equação da elipse, precisamos entender a definição de elipse e como os vértices e co-vértices se relacionam com sua equação geral.
Passo 2
Primeiro, identificamos o centro da elipse. Como os vértices principais estão em
e
, o centro está na metade do caminho entre esses pontos, ou seja, na origem
. A mesma coisa vale para os co-vértices
e
, confirmando que o centro é
.
Passo 3
Em uma elipse com centro na origem, a equação geral é:
Aqui,
representa a distância do centro aos vértices principais, e
a distância do centro aos co-vértices.
Passo 4
Calculamos
observando as coordenadas dos vértices principais. A distância de
a
é
, então
. Da mesma forma, calculamos
observando os co-vértices. A distância de
a
é
, então
.
Passo 5
Substituímos os valores de
e
na equação geral da elipse:
Simplificando, temos:
Resposta
A equação da elipse é:
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.
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.
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