Escreva as equações das seguintes elipses: Os vértices vértices são .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica sobre elipses. O enunciado nos dá os vértices principais e , além dos co-vértices e . Para encontrar a equação da elipse, precisamos entender a definição de elipse e como os vértices e co-vértices se relacionam com sua equação geral.

Passo 2

Primeiro, identificamos o centro da elipse. Como os vértices principais estão em e , o centro está na metade do caminho entre esses pontos, ou seja, na origem . A mesma coisa vale para os co-vértices e , confirmando que o centro é .

Passo 3

Em uma elipse com centro na origem, a equação geral é:
Aqui, representa a distância do centro aos vértices principais, e a distância do centro aos co-vértices.

Passo 4

Calculamos observando as coordenadas dos vértices principais. A distância de a é , então . Da mesma forma, calculamos observando os co-vértices. A distância de a é , então .

Passo 5

Substituímos os valores de e na equação geral da elipse:
Simplificando, temos:

Resposta

A equação da elipse é:

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