Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para o núcleo da transformação linear
definida por
. Aqui, o núcleo da transformação (ou kernel) é o conjunto de todos os vetores
em
que são enviados para o vetor zero em
. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com sistemas lineares e encontrar soluções para as equações que definem o kernel.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que significa estar no núcleo da transformação. Ou seja, queremos que:
Isso nos dá um sistema de duas equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre as variáveis. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Perceba que
não aparece em nenhuma equação, o que significa que ela pode ser qualquer valor real.
Passo 4
Agora, vamos expressar todas as variáveis em termos de
e
:
Então, podemos escrever um vetor no núcleo como:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é uma combinação linear dos vetores
e
.
Resposta
Uma base para o núcleo de
é formada pelos vetores