Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
T: R^4 longrightarrow R^2 dada por T(x, y, z, w)=(x-2 y, z-x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para o núcleo da transformação linear definida por . Aqui, o núcleo da transformação (ou kernel) é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o vetor zero em . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com sistemas lineares e encontrar soluções para as equações que definem o kernel.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa estar no núcleo da transformação. Ou seja, queremos que:
T(x, y, z, w) = (x - 2y, z - x) = (0, 0)
Isso nos dá um sistema de duas equações:
x - 2y = 0 z - x = 0

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre as variáveis. Da primeira equação:
x = 2y
Da segunda equação:
z = x = 2y
Perceba que não aparece em nenhuma equação, o que significa que ela pode ser qualquer valor real.

Passo 4

Agora, vamos expressar todas as variáveis em termos de x = 2y z = 2y w = w e (x, y, z, w) = (2y, y, 2y, w) = y cdot (2, 1, 2, 0) + w cdot (0, 0, 0, 1) :
Então, podemos escrever um vetor no núcleo como:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é uma combinação linear dos vetores e .

Resposta

Uma base para o núcleo de , (2,;1,;2,;0),;, (0,;0,;0,;1) , é formada pelos vetores

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