Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para o núcleo da transformação linear definida por . Aqui, o núcleo da transformação (ou kernel) é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o vetor zero em . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com sistemas lineares e encontrar soluções para as equações que definem o kernel.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa estar no núcleo da transformação. Ou seja, queremos que:
Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre as variáveis. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Perceba que não aparece em nenhuma equação, o que significa que ela pode ser qualquer valor real.

Passo 4

Agora, vamos expressar todas as variáveis em termos de e :
Então, podemos escrever um vetor no núcleo como:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é uma combinação linear dos vetores e .

Resposta

Uma base para o núcleo de é formada pelos vetores

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Cada equação abaixo descreve uma cônica. Identifique a cônica e faça um esboço à mão livre da mesma. Explicite os focos, os vértices, a distância focal, as assíntotas e a diretriz (quando existir).
Existe alguma transformação linear tal que e ?
Escreva as equações das seguintes elipses: Os vértices vértices são .
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .